离散数学教学课件 作者 郝晓燕 第6章代数系统.ppt

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1、1第三部分代数结构代数系统----二元运算及其性质、代数系统和子代数半群与独异点----半群、独异点群----定义与性质、子群与群的陪集分解、循环群与置换群环与域-----环、整环、域格与布尔代数----格、布尔代数§6-1代数系统的概念§6-2代数系统的运算及其性质§6-3半群与含幺半群§6-4群与子群§6-5交换群、循环群与置换群§6-6陪集与拉格朗日定理§6-7同态与同构§6-8环与域第6章代数结构3定义6-1.1设A和B都是非空集合，n是一个正整数，若f是An到A一个映射，则称f是A上的n元运算（n-aryoperation），简称A上的运算。并称该n元运算在A

2、上是封闭的。§6-1代数系统的概念4例6-1.1（1）求一个数的倒数是非零实数集R*上的一元运算。（2）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不是。（3）S是一非空集合，SS是S到S上的所有函数的集合，则复合运算是SS上的二元运算。5例6-1.2设集合S={0，1}，请给出S的幂集(S)上的求补运算～和求对称差运算的运算表，其中全集是S。解：所求运算表如表6-3和表6-4所示。6定义6-1.2一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算f1，f2，……，fk所组成的系统称为一个代数系统（algbraicsystem）。记作

3、，fk>。7例6-1.3如果对集合S，由S的幂集(S)以及该幂集上的运算“∪”、“∩”、“～”组成一个代数系统<(S)，∪，∩，～>；S1(S)，S1的补集～S1=S−S1也常记为。又如整数集Z以及Z上的普通加法“+”组成一个系统。8这一节，主要讨论一般二元运算的一些性质。§6-2代数系统的运算及其性质9定义6-2.1设*是定义在集合S上的二元运算，如果对于x，yS，都有x*y=y*x，则称二元运算*是可交换的或称运算*满足交换律（commutativelaw）。§6-2-1二元运算的性质10定义6-2.2设*是定义在集合S上的二元运算，如果：对于

4、x，y，zS都有(x*y)*z=x*(y﹡z)，则称二元运算*是可以结合的或称运算*满足结合律（associativelaw）。§6-2-1二元运算的性质11定义6-2.3设和*是定义在集合S上的两个二元运算，如果对于x，y，zS，都有：x(y*z)=(xy)*(xz)(y*z)x=(yx)*(zx)则称运算对运算*是可分配的，也称对运算*满足分配律（distributivelaw）。§6-2-1二元运算的性质12定义6-2.4设和*是集合S上的两个可交换的二元运算，如果对任意x，yS的都有：x*(xy)=xx(x*y)=x则称运算和*满足吸收律（absorp

5、tivelaw）。§6-2-1二元运算的性质13定义6-2.5设*是集合S上的二元运算，如果对于xS，都有x*x=x，则称运算*是等幂的，或称运算*满足幂等律（ildempotentlaw）。§6-2-1二元运算的性质Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，

6、A

7、214实例集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有无无Mn(R)矩阵加法+矩阵乘法有无有有无无P(B)并交相对补对称差有有无有有有无有有有无无AA函数复合无有无Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集

8、；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，

9、A

10、215集合运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配无Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配无P(B)并与交对可分配对可分配有交与对称差对可分配无实例16定义6-2.6设是定义在集合S上的一个二元运算，如果elS，使得对于xS都有el=x，则称el为S中关于运算的左幺元（leftidentiy）；如果erS，使对于xS都有xer=x，则称er为S中关于运算的右幺元（rightidentity）；如果S中有一个元

11、素e，它既是左幺元又是右幺元，则称e是S中关于运算的幺元（identity）。§6-2-1二元运算的性质17定义6-2.7设*是定义在集合S上的一个二元运算，如果lS，使得对于xA都有l*x=l，则称l为S中关于运算*的左零元；如果rS，对于xS都有x*r=r，则称r为S中关于运算*的右零元；如果S中有一元素，它既是左零元又是右零元，则称为S中关于运算*的零元（zeroelement）。§6-2-1二元运算的性质18定义6-2.8设是代数系统，其中*是S上的二元运算，eS是S中运算*的幺元。