离散数学 郝晓燕 第5章函数

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1、第5章函数§5-1函数的概念与性质定义5-1.1设f是集合A到B的关系，如果对每个xA，都存在唯一的yB，使得f，则称关系f为A到B的函数，也可称为映射或变换，记为f:A→B。A为函数f的定义域，记为domf=A；f(A)为函数f的值域，记为ranf；B称为函数f的陪域。对于f:A→B来说，若f，则称x为函数的自变量，称y为函数的应变量，因为y值依赖于x所取的值，则称y是f在x处的值，或称y为f下x的像，x为f下y的像源。通常把f记作f(x)=y。从定义5-1.1可以看出，A到B的函数f是从A到B的二元关系的子集，且有以下特点：①A的每一元

2、素都必须是f的有序对之第一分量；② 若f(x)=y，则函数f在x处的值是唯一的，即f(x)=yf(x)=zy=z；③ 允许一个像可有多个像源。设A={1,2,3,4},B={a,b,c,d}，试判断下列关系哪些是函数。如果是函数，请写出它的值域。（1）f1={<1,a>,<2,a>,<3,d>,<4,c>}；（2）f2={<1,a>,<2,a>,<2,d>,<4,c>}；（3）f3={<1,a>,<2,b>,<3,d>,<4,c>}；（4）f4={<2,b>,<3,d>,<4,c>}。设A={a,b},B={1,2}，请分别写出A到B的不同关系和不同函数。解因为

3、A

4、=2,

5、

6、B

7、=2，所以

8、A×B

9、=

10、A

11、×

12、B

13、=4，即A×B={,，,}，此时从A到B的不同的关系有24=16个。R0=Φ；R1={},R2={},R3={},R4={},R5={,},R6={,},R7={,},R8={,},R9={,},R10={,},R11={,,},R12={,,},R13={,,

14、,2>},R14={,,},R15={,,,}。从A到B的不同的函数仅有22=4个。分别如下：f1={,},f2={,},f3={,},f4={,}。§5-1-2函数的性质定义5-1.3设f:A→B（1）若ranf=B，则称f:A→B是满射的；（2）若yranf都存在唯一的xA使得f(x)=y，则称f:A→B是单射的；（3）若f:A→B既是满射又是单射的，则称f:A→B是双射的。例5-1.3确定下列函数的类型。（1）设A={1

15、，2，3，4，5}，B={a，b，c，d}。f:A→B定义为{<1，a>，<2，c>，<3，b>，<4，a>，<5，d>}（2）设A={1，2，3}，B={a，b，c，d}。f:A→B定义为f={<1，a>，<2，c>，<3，b>}（3）设A={1，2，3}，B={1，2，3}。f:A→B定义为f={<1，2>，<2，3>，<3，1>}。§5-2函数的运算定义5-2.1考虑f:A→B，g:B→C是两个函数，则f与g的复合运算g○f＝{

16、xAzC(y)(yBxfyygz)}是从A到C的函数，记为g○f：A→C，称为函数f与g的复合函数。对任意xA，有(g

17、○f)(x)=g(f(x))例5-2.1设A={1，2，3，4，5}，B={a，b，c，d}，C={1，2，3，4，5}，函数f:A→B，g:B→C定义如下：f={<1，a>，<2，a>，<3，d>，<4，c>，<5，b>}；g={，，，}。求g○f解：g○f={<1，1>，<2，1>，<3，2>，<4，5>，<5，3>}（1）设X＝﹛a,b,c﹜,Y＝﹛1,2,3﹜,Z＝﹛,﹜,f:X→Yf(a)=1f(b)=2f(c)=3g:Y→Zg(1)=g(2)=g(3)=则gof：X→Zgof（a）=gof（b）=gof（c）=f

18、og无意义例5-2.2设f:R→R，g:R→R，h:R→R，满足f(x)=2x，g(x)＝(x+1)2，h(x)＝x/2。计算：（1）g○f，f○g；（2）f○h，h○f。解：（1）g○f(x)＝g(f(x))＝g(2x)＝(2x+1)2f○g(x)＝f(g(x))＝f((x+1)2)＝2(x+1)2。（2）h○f(x)＝h(f(x))＝h(2x)＝x；f○h(x)＝f(h(x))＝f(x/2)＝x。定理5-2.1设f和g分别是A到B和从B到C的函数，设f:AB，g:BC则①