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《离散数学 杨圣洪第四章习题一》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第四章习题一1、判断下列集合关于指定的运算是否构成半群，独异点和群。n(1)a是实数，G={a
2、n是整数}，运算是普通的乘法。(2)Q*为正有理数，运算是普通的乘法。(3)Q*为正有理数，运算是普通的加法。(4)一元实系数多项式的集合关于多项式的加法。(5)一元实系数多项式的集合关于多项的乘法n(1)a是实数，G={a
3、n是整数}，运算是普通的乘法。解：nmmnm+n封闭性：G中任取二个元素x与y，则x=a,y=a，则x×y=a×a=a，仍是a的(m+n)幂次方，即仍是G中的元素。mnp可结合性：G中任取三个元素x、y与z，则x=a,y=a,z=a，则三个元素相乘的结果m+n+px×y
4、×z=a，显然满足可结合性。0单位元e=1=a.m-1-m逆元x=a，则x=a.所以是群。(2)Q*为正有理数，运算是普通的乘法。解：封闭性：两个正有理数的乘积仍是正有理数。可结合性：三个正有理数显然满足单位元e=1，1是正有理数-1逆元a=m/n，m与n都是正有理数，则其逆元为a=n/m.故为群。(3)Q*为正有理数，运算是普通的加法。封闭性：两个正有理数相加仍是正有理数可结合性：显然满足单位元：不存在，0不是正有理数，故为半群。逆元：逆元为负有理数。(4)一元实系数多项式的集合关于多项式的加法封闭性：多项式相加是系数相加，实系数相加仍是实系数，故仍为实系数多项式。可结合性：三个多项
5、式相加，实际上是系数相加，实数相加仍是满足可结合性。单位元：0，即各项系数均为0的多项式，实际上就是数字0。逆元：各项系数的相反数，即为逆元。(5)一元实系数多项式的集合关于多项的乘法封闭性：是实系数相乘，指数相加，结果仍是实系数，故仍为实系数多项式。可结合性：3个多项式相乘，是系数相乘后再相加，指数相加，满足可结合性。单位元：实数1为单位元，即多项式退化为常数1。逆元：两个多项式相乘为结果1，(x+1)×y=1，则y=1/(1+x)，显然1/(1+x)不是多项式，因此不存在逆元。2、在实数R中定义二元运算*：a*b=a+b+ab，证明构成独异点。证：封闭性：a与b是实数，则
6、a+b是实数，ab也是实数，(a+b)+ab也是实数，故满足封闭性。可结合律：任取三个实数a,b,c，则(a*b)*c=(a+b+ab)*c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abca*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc故(a*b)*c=a*(b*c)，所以满足可结合律。单位元：a*e=a，则a+e+ae=a，故e+ae=0，故e(1+a)=0，考虑到a的任意性，要使该式为0，只有e=0了，显然a*e=a+e+ae=a，故0为单位元构成独异点。逆元：a*b=e，
7、即a*b=0，即a+b+ab=0，即-a=b(1+a)，故b=-a/(1+a)，因此当a+1不为0时才有逆元，因此并不是所有的实数都有逆元。当a=-1时，a*b=0为-1+b-b=0，即-1=0，而这是矛盾，故a=-1时没有逆元。3、S={a,b,c}，S上的*运算定义为：x*y=x，证明S关于*构成半群证明：封闭性：当x,y是S的元素时，x*y=x仍是S的元素，故满足封闭性。可结合性：当x,y,z是S的元素时，注意到运算后的结果为第一个元素，则可知(x*y)*z=(x*y)=x，同样x*(y*z)=x，故(x*y)*z=x*(y*z)单位元：若x*e=e*x=x，则根据*运算的定义可
8、知，x*e=x即为第一个元素，而e*x=e即为第一个元素，则x=e，即集合中只有一个元素时，这是不可能的，所以不可能含有单位元，只能构成半群。4、设V=<{a,b},*>是半群，且a*a=b，证明：(a)a*b=b*a，(b)b*b=b(a)的证明(1)a*b=a*(a*a)因为b=a*a(2)a*(a*a)=(a*a)*a因为满足结合律(3)(a*a)*a=b*a因为a*a=b(4)a*b=b*a因为(1)(2)(3)(b)的证明因为V是封闭的，故{a*a,b*b,a*b,b*a}⊆{a,b}又a*a=b,a*b=b*a，故集合{a*a,b*b,a*b,b*a}={b,b*b,a*b
9、}⊆{a,b}a*b只能是a或b中某一个。当a*b=a时，两边同乘a可知a*(a*b)=a*a，故(a*a)*b=a*a，故b*b=b当a*b=b时，两边同乘a可知a*(a*b)=a*b，故(a*a)*b=a*b，故b*b=b5、设Z是整数集合，在Z上定义二元运算°为：x°y=x+y-2，是否构成群？解：Z封闭性：x°y=x+y-2∈Z是整数，故封闭可结合律：(x°y)°z=(x°y)+z-2=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4x°(y°z
