离散数学 杨圣洪等著 第一章习题二解答.pdf

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1、习题二一、分别用等算演算与真值表法，判断下列公式是否存在主析取范式或主合取范式，若有，请写出来。(1)(¬p→q)→(¬q∨p)(2)(¬p→q)→(q∧r)(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)(4)¬(q→¬p)∧¬p(5)(p∧q)∨(¬p∨r)(6)(p→(p∨q))∨r(7)(p∧q)∨r(8)(p→q)∧(q→r)(9)(p∧q)→q(10)¬(r↔p)∧p∧q解：(1)pq¬p(¬p→q)¬q(¬q∨p)(¬p→q)→(¬q∨p)0010111011100010011111101011存在主析取范式=成

2、真赋值对应的小项的析取=m00∨m10∨m11=(¬p∧¬q)∨(p∧¬q)∨(p∧q)主析取范式=成假赋值对应的大项的合取=M01=p∨¬q等值演算：(¬p→q)→(¬q∨p)⇔¬(¬¬p∨q)∨(p∨¬q)⇔¬(p∨q)∨(p∨¬q)⇔(¬p∧¬q)∨(p∨¬q)⇔(¬p∨(p∨¬q))∧(¬q∨(p∨¬q))⇔(¬p∨p∨¬q)∧(¬q∨p∨¬q)⇔(1∨¬q)∧(p∨¬q)⇔(p∨¬q)这是大项，故为大项的合取，称为主合取范式(¬p→q)→(¬q∨p)⇔(p∨¬q)⇔(p)∨(¬q)⇔(p∧1)∨(1∧¬q)⇔

3、(p∧(q∨¬q))∨((p∨¬p)∧¬q)⇔(p∧q)∨(p∧¬q)∨(p∧¬q)∨(¬p∧¬q)⇔(p∧q)∨(p∧¬q)∨(¬p∧¬q)因为一个公式的值不是真，就是假，因此当我们得到一个公的取值为真的情况时，剩下的组合是取值为假，因此当得到小项的析取组成的主析取范式后，可以针对剩下的组合写出主合取范式。如当我们得到(¬p→q)→(¬q∨p)的大项之合取(p∨¬q)后，使(p∨¬q)为假时(p,q)的值为(0,1)，故其标记为M01，剩余的取值为(0,0),(1,0),(1,1)，故小项之析取为m00∨m10∨m1

4、1。反之，若先得到其小项的析取，也可得到其大项的合取。反正这两者将其所有组合瓜分完毕。(2)(¬p→q)→(q∧r)pqr¬p¬p→q(q∧r)结果00010010011001010110001111111000100101010011001001110111主析取范式=m000∨m001∨m011∨m111=(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧q∧r)主合取范式=M010∧M100∧M101∧M110=(p∨¬q∨r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨¬q∨r)(3)(p∨

5、(q∧r))→(p∨q∨r)pqr(q∧r)(p∨(q∧r))(p∨q∨r)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)00000010010001010001101100111000111101011111011111111111永真式，所有小项的析取得到其主析取范式=(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)由于没为假的指派，所以没有为假赋值，所对应的大项合取构成的合取，即没有主合取范式。¬(p∨(q∧r))∨(p∨q

6、∨r)=(¬p∧¬(q∧r))∨(p∨q∨r)=((¬p∧¬q)∨(¬p∧¬r))∨(p∨q∨r)=(¬p∧¬q)∨(¬p∧¬r)∨p∨q∨r=¬(p∨q)∨(¬p∧¬r)∨p∨q∨r=1永真(4)¬(q→¬p)∧¬ppq¬p(q→¬p)¬(q→¬p)结果001100011100100100110010没有成真的赋值，从而没有对应的小项，因此没有小项构成的主析取范式永假式即矛盾式，为假指派对应的大项合取=(p∨q)∧(p∨¬q)∧(¬p∨q)∧(¬p∨¬q)原式=¬(¬q∨¬p)∧¬p=(q∧p)∧¬p=0(5)(p∧

7、q)∨(¬p∨r)pqr(p∧q)¬p(¬p∨r)(p∧q)∨(¬p∨r)00001110010111010011101101111000000101001111010011111011主析取范式(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)主合取范式M100=¬p∨q∨r原式=((p∧q)∨¬p)∨r=((p∨¬p)∧(¬p∨q))∨r=(1∧(¬p∨q))∨r=¬p∨q∨r这就是大项也剩下的赋值对应的就是小项(6)(p→(p∨q))

8、∨rpqr(p∨q)(p→(p∨q))(p→(p∨q))∨r000011001011010111011111100111101111110111111111永真式，只有小项组成的主析取范式。没有为假的赋值，所以没有成假赋值对应的大项的合取，即没有主合取范式。原式=(¬p∨(p∨q))∨r=(1∨q)∨r=1(7)(p∧q)∨rpq