有限元基础理论与ANSYS11.0应用 教学课件 作者 张洪信 管殿柱 主编 有限元法基础讲稿-第8讲新.doc.ppt

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1、附录1弹性力学的基本方程在有限单元法中经常要用到弹性力学的基本方程，关于它们的详细推导可从弹性力学的有关教材中查到。弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量，，，，，，来表示。其中，，，为正应力；，，，为剪应力。应力分量的正负号规定如下：如果某一个面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴正，方向为正，与坐标轴反向为负；相反，如果某一个面的外法线方向与坐标轴的负方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，与坐标轴同向为负。应力分量及其正方向见图1。附录1...弹性力学的基本方程图1应力分量应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量(

2、1)附录1...弹性力学的基本方程弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3个位移分量u，v，w来表示。它的矩阵形式是称作位移列阵或位移向量。弹性体内任意一点的应变，可以由6个应变分量，，，，，，来表示。其中，，，为正应变；，，，为剪应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短为负；剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正，反之为负。图2的(a)，(b)分别为和前正应变状态。(2)附录1...弹性力学的基本方程a正应变b剪应变图2应变的正方向应变的矩阵形式是称作应变列阵或应变

3、向量。(3)附录1...弹性力学的基本方程对于三维问题，弹性力学基本方程可写成如下形式。平衡方程弹性体V域内任一点沿坐标轴x，y，z方向的平衡方程为其中，，，为单位体积的体积力在x，y，z方向的分量。(4)附录1...弹性力学的基本方程几何方程—应变-位移关系在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有(5)附录1...弹性力学的基本方程物理方程—应力-应变关系弹性力学中应力-应变之间的转换关系也称弹性关系（又称为广义虎克定律）。对于各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示：其中(6)(7)附录1...弹性力学的基本方程

4、称为弹性矩阵。它完全取决于弹性体材料的弹性模量E和泊桑比μ。表征弹性体的弹性，也可以采用拉梅(Lam’e)常数G和λ：G也称为剪切弹性模量。物理方程中的弹性矩阵D亦可表示为(8)(9)附录1...弹性力学的基本方程边界条件弹性体V的全部边界为S。一部分边界上已知单位面积外力，，称为力的边界条件，这部分边界用Sσ表示；另一部分边界上弹性体的位移，，已知，称为几何边界条件或位移边界条件，这部分边界用Su表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即S=Sσ+Su弹性体在边界上单位面积的内力为，，，根据平衡应有===设边界外法线为N，其方向余弦为nx，ny，nz，则边界上弹性体的内力可由下

5、式确定(10)(11)附录1...弹性力学的基本方程该式即为力的边界条件。在Su上有位移边界条件u=，v=，w=以上是三维弹性力学问题中的一组基本方程和边界条件。同样，对于平面问题，轴对称问题等也可以得到类似的方程和边界条件。(12)(13)