高考数学选修知识讲解_《空间向量与立体几何》全章复习与巩固_基础.doc

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1、《空间向量与立体几何》全章复习与巩固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.【知识网络】空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量在立体几何中的应用空间向量的线性运算空间向量的基本定理两个向量的数量积空间向量的直角坐标运算共线向量定理共面向量定理空

2、间向量分解定理平行与垂直的条件直线的方向向量与直线的向量方程平面的法向量与平面的向量表示直线与平面的夹角二面角及其度量距离【要点梳理】要点一：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段表示，叫作起点，叫作终点；一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．向量的夹角：过空间任意一点作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作，规定．如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．单位向

3、量：长度为1的空间向量，即．相等向量：方向相同且模相等的向量．相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．平行于记作，此时．=0或=p．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关．只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作．与同向．（4）

4、当=0或p时，向量平行于，记作；当=时，向量垂直，记作．要点二：空间向量的基本运算空间向量的基本运算：运算类型几何方法运算性质向量的加法1平行四边形法则：加法交换率：加法结合率：2三角形法则：向量的减法三角形法则：向量的乘法是一个向量，满足：>0时，与同向；<0时，与异向；=0时，=0∥向量的数量积1．是一个数：；2．，或=0．要点三：空间向量基本定理共线定理：两个空间向量、（≠），//的充要条件是存在唯一的实数，使．共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使．要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平

5、行（进而证线面平行）或证明三点共线．（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．空间向量分解定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点四：空间向量的直角坐标运算空间两点的距离公式若，，则①；②；③的中点坐标为．空

6、间向量运算的的坐标运算设，，则①；②；③；④；⑤，；⑥．空间向量平行和垂直的条件若，，则①，，；②．要点诠释：（1）空间任一点的坐标的确定：过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则．如图：（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中θ的范围是．（３）与任意空间向量平行或垂直．要点五：用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行（//）//（分别为直线的方向向量）线线垂直（）（分别为直线的方向向量）线面平行（//），即（是直线的方向向量，是平面的法向量）．线面垂直（）//（是直线的方向向量，是平面的法向量）面面平行（/

7、/）（分别是平面，的法向量）面面垂直（），即（，分别是平面，的法向量）要点诠释：（１）直线的方向向量：若、是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．（２）平面的法向量：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量．一个平面的法向量不是唯一的．要点六：用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角（，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点）直线和平面的夹角（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）二面角（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）要点诠释：①当法向量与的

8、方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的