课题学习：猜想、证明与拓广（王水运）.doc

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1、课题学习：猜想、证明与拓广题型设计者：王水运1、某中学初三数学兴趣小组对下面的问题进行探究，具体做法是：操作：首先将一张矩形ABCD的纸对折，设折痕为MN，如图（1）；其次再把点B叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为Q，得RT△AQE，如图（2）；再又沿着EQ线折叠得折痕EF，如图（3）；最后展开，如图（4）。探究：（1）猜想：△AEF是什么三角形？并证明你的猜想；（2）若矩形ABCD的周长为72cm，则当△AEF的边长为多少时，这个矩形为黄金矩形（即矩形的宽与长的比为黄金比或）？2、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，AD、BC的

2、延长线相交于G，CE⊥AG与E，CF⊥AB于F。（1）请你写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；（2）选择（1）中你所写出的一组相等的线段，加以证明。3、如图，△ABC中，D为AC边上一点，CD=2DA，∠BAC=450,∠BDC=600，CE⊥BD于E，连结AE。（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有没有相似三角形？若有写出一对，若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积比。41、如图，四边形ABCD中，点E在CD边上，连结AE、BE，给出下列5个关系式：①AD∥BC，②DE=CE，③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB

3、。将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论构成一个命题。（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果…，那么…），并给出证明；（2）用序号再写出3个真命题（不要求证明）。（3）加分题：真命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题，每多写一个真命题，就给你加一分，最多加2分。2、如图，用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形，叫做格点多边形。设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与ｘ之

4、间的函数关系式:Ｓ＝　　　　　　　　　；多边形的序号①②③④…各边上格点的个数x4568…多边形的面积s22.534…（２）请你在画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有且只有２个格点，此时所画的各多边形的面积ｓ与它各边上格点的个数和ｘ之间的函数关系式是ｓ＝　　　；请你继续探索，当格点多边形的内部有且只有ｎ个格点时，猜想ｓ与ｘ之间的函数关系式怎样？答：ｓ＝　　　　　　　　　　　　　。5、著名数学家高斯在读小学二年级的时候老师出了这样一道数学题：高斯很快就算出了答案，他的计算方法是：=5050（1）请你运用上述方法求连续个奇数的和的计算公式；4（2）如图所示，第二个

5、图形是由第一个图形的三角形连结三边中点而得到的，第三个图形是由第二个图形的三角形连结三边中点而得到的，依次类推…，完成下列表格，并求出由第一个图形到第n个图形的三角形的个数之和。图形类别①②③…第n个图形图形中三角形的个数…6、探索题：（1）任意给出一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是另一个正方形的周长和面积的2倍？（2）任意给顶一个矩形，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是另一个正方形的周长和面积的2倍？对于探索题（1）的操作可以这样思考：如图，假设正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别是和，依题意，得即，得，得但是，在实际问题中，边长

6、等于0无意义。因此，不存在这样的正方形。对于探索题（2）的操作可以这样思考：假设已知矩形MNOP的长与宽分别和，所求矩形ABCD的长为和，则①当，时，解方程组，得，②当，时，，解得，；4③当，时，，解得，；……依此类推，则有当，时，，解得，；当，时，，解得，；仿上述方法完成下面表格：矩形MNOP的长、宽2345…nn1111…1m关于、的方程组…矩形ABCD的长、宽……综上所述，可以得出结论：（1）任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍；（2）上述探索问题（2）的方法是数学学习中常运用的从特殊到一般的数学归纳法7、仿照第

7、6题的探索方法，请你思考并探究问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半？提示：可以假设已知矩形的长和宽分别是、，所求矩形的长为，那么有：，即，这个方程在什么情况下才有实数解？4