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《数学模型数学建模第二次作业微分方程实验.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解：（1）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(0,0)，利用直接法判断其稳定性。在点P(0,0)处，系统的线性近似方程的系数矩阵为，解得其特征值λ1=1，λ2=1；p=-(λ1+λ2)=-2<0，q=λ1λ2=1>0；对照稳定性的情况表，可知平衡点(0,0)是不稳定的。图形如下：（2）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(0,0)，利用直接法判断其稳定性。解得其特征值λ
2、1=-1，λ2=2；p=-(λ1+λ2)=-1<0，q=λ1λ2=-2<0；易知平衡点(0,0)是不稳定的。（3）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(0,0)，利用直接法判断其稳定性。解得其特征值λ1=0+1.4142i，λ2=0-1.4142i；p=-(λ1+λ2)=0，q=λ1λ2=1.4142；易知平衡点(0,0)是不稳定的。（4）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(1,0)，利用直接法判断其稳定性。解得其特征值λ1=-1，λ2=-2；p=-(λ1+λ2)=3，q=λ1λ2=2；易知平衡点(1,0)是稳定
3、的。2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。设病菌的数目为N，单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有，但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N1/2成比例，其比例系数为r2，求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的?解：根据题意列出N满足的微分方程：(1)得到其解为N1=0,N2=；由(1)得：(2)解得N=画出N（t）的图形，即微分方程的解族，如下图所示：可以判断出其中N1=0是不稳定的；N2=是稳定的。3、单种群开发模型考虑单种群开发方程
4、：在不求解的情况下，绘出其解族曲线。(2)用数学表达式证明：在稳定状态下，最优捕捞率为E*=解：由本问题的目标出发，渔场中鱼量达到稳定的平衡状态时的情形，不必知道每一时刻的鱼量变化情况，故不需要解出方程，只需要讨论方程的平衡点并分析其稳定性。平衡点：满足F(x)==0(1)的点称为方程的平衡点。解得的两个平衡点为：，容易算出两个解E-r和r-E称平衡点是稳定的是指：对方程(1)的任一个解，恒有(2)判断平衡点x*是否稳定，可根据一阶近似方程：(3)判断。该方程的一般解为：于是有下述结论：若，则x*是稳定平衡点；若，则x*不是稳定平衡点。应
5、用上述近似判别法，所以有当Er时，x0不是稳定平衡点，x1是；结果分析：当捕捞适度(即：Er）时，渔场产量将减至x1=0，破坏性捕捞，从而是不可持续的。进一步讨论：如何控制捕捞强度E使得持续产量Ex0最大： 结论：最优捕捞率为。4、Gompertz模型设渔场鱼量增长服从Gompertz模型：，其中r为固有增长率，N为最大种群数量。若单位时间捕捞量为．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔
6、场鱼量水平。解：变化规律的数学模型为记（1）令，得，．则有平衡点为.又，．推出平衡点是稳定的，而平衡点不稳定.0（2）最大持续产量的数学模型为：由前面的结果可得，令得到最大产量的捕捞强度，从而得到最大持续产量，此时渔场鱼量水平。5、有限资源竞争模型：微分方程是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型，假设c1>a1，c2>a2。试用微分方程稳定性理论分析：（1）如果，则（2）如果则（3）用图形分析方法来说明上述两种情况解：（1）令得方程的平衡点为P0（0,0），P1（,0），P2（0,）.对平衡点P0（0,0），系数矩阵又c1>a1，c2>
7、a2则p=-[(c1-a1)+(c2-a2)]<0，所以该平衡点不稳定。以此类推：对平衡点P1（,0）：系数矩阵则p=，q=，若，且假设c1>a1，c2>a2，则q<0不稳定而对于P2（0,），有p>0，且q>0稳定，此时，说明物种1最终要灭亡。（1）而如果的情况下则方程在P1（,0）稳定，其他点不稳定，此时说明物种2最终会灭亡。6、考虑Lorenz模型其中σ=10，ρ=28，β=8/3，且初值为,x1（0）=x2（0）=0，x3（0）=ε，ε为一个小常数，假设ε=10-10，且0≤t≤100。（1）用函数ode45求解，并画出x2~x1
8、,x2~x3,x3~x1的平面图；（2）适当地调整参数σ，ρ，β值，和初始值x1（0），x2（0）=0，x3（0），重复一的工作，看有什么现象发生。解：1.建立自定义函数，在edit中建立“L
