数学建模微分方程实验.doc

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1、2微分方程实验1、微分方程稳定性分析根据微分方程稳定性理论，确定下列资质系统的平衡点，并说明那些点是稳定的，哪些点是不稳定，绘出相应的轨线，标出随t郑家的运动方向。b5E2RGbCAP解：<1）由f=-2<0，q=λ1λ2=1>0；对照稳定性的情况表，可知平衡点<0，0）是不稳定的。p1EanqFDPw图形如下：<2）如上题可求得平衡点为<0,0），特征值λ1=-1，λ2=2；p=

2、-(λ1+λ2>=-1<0，q=λ1λ2=-2<0；对照稳定性的情况表，可知平衡点<0，0）是不稳定的。DXDiTa9E3d其图形如下：23/23<3）如上题可求得平衡点为<0,0），特征值λ1=0+1.4142i，λ2=0-1.4142i；RTCrpUDGiTp=-(λ1+λ2>=0，q=λ1λ2=1.4142>0；对照稳定性的情况表，可知平衡点<0，0）是不稳定的。5PCzVD7HxA其图形如下：<4）如上题可求得平衡点为<1,0），特征值λ1=-1，λ2=-2；p=-(λ1+λ2>=3>0，

3、q=λ1λ2=2>0；对照稳定性的情况表，可知平衡点<1，0）是稳定的。jLBHrnAILg23/23其图形如下：2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N，单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有，但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N1/2成比例，其比例系数为r2，求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的?xHAQX74J0X解：由题意很容易列出N满足的微分方程：令=0，可求得方程的

4、两个平衡点N1=0,N2=进而求得令可求得N=则N=N1，N=N2，N=可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分别有；；。则可以画出N>0时，物种2最终要灭亡。<2）用图形分析方法来说明物种2最终要灭亡.解

5、：<1）由上述方程组f>0，可以得出p>0,q>0,因此该平衡点是稳定的。即时，，说明物种2最终要灭亡。对平衡点P2<0,），同理可以得到q<0，在该平衡点不稳定。因此，在，x1(t0>>0的条件下，物种2最终要灭亡。<2）对于线性方程组在平面上匹配两

6、条直线l1和l2，由题意，x1(t0>>0，可将第一象限分为三个区域。在最左边区域，都大于0；在中间区域，都小于0，在最右边区域，分别是大于0和小于0.，由各区域中的取值可得到如下图形：LDAYtRyKfE23/23由图也可以看出，随着时间的增加，物种1最终能达到稳定值，物种2最终要灭亡。4、蝴蝶效应与混沌解考虑Lorenz模型其中σ=10，ρ=28，β=8/3，且初值为,x1<0）=x2<0）=0，x3<0）=ε，ε为一个小常数，假设ε=10-10，且0≤t≤100。Zzz6ZB2Ltk<1）用

7、函数ode45求解，并画出x2~x1,x2~x3,x3~x1的平面图；<2）适当地调整参数σ，ρ，β值，和初始值x1<0），x2<0）=0，x3<0），重复一的工作，看有什么现象发生。dvzfvkwMI1解：<1）编写Lorenz函数，functionxdot=lorenz1(t,x,b,a,c>xdot=[-b*x(1>+x(2>*x(3>。-a*x(2>+a*x(3>。-x(1>*x(2>+c*x(2>-x(3>]。对各参数赋值并用ode45函数求解，可得数值解：23/23Columns1th

8、rough900.12500.25000.37500.50000.53520.57050.60570.6409rqyn14ZNXI00.00000.0000-0.0000-0.00000.00000.00000.00000.0000EmxvxOtOco00.00000.0000-0.0000-0.00000.00000.00000.0000-0.0000SixE2yXPq50.0000-0.0000-0.00000.00000.00000.0000-0.00000.00000.00