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1、2微分方程实验1、微分方程稳定性分析根据微分方程稳定性理论，确定下列资质系统的平衡点，并说明那些点是稳定的，哪些点是不稳定，绘出相应的轨线，标出随t郑家的运动方向。解：（1）由f（x）=x=0，f（y）=y=0；可得平衡点为（0,0），系数矩阵，求得特征值λ1=1，λ2=1；p=-(λ1+λ2)=-2<0，q=λ1λ2=1>0；对照稳定性的情况表，可知平衡点（0，0）是不稳定的。图形如下：（2）如上题可求得平衡点为（0,0），特征值λ1=-1，λ2=2；p=-(λ1+λ2)=-1<0，q=λ1λ2=-2<0；对照
2、稳定性的情况表，可知平衡点（0，0）是不稳定的。其图形如下：（3）如上题可求得平衡点为（0,0），特征值λ1=0+1.4142i，λ2=0-1.4142i；p=-(λ1+λ2)=0，q=λ1λ2=1.4142>0；对照稳定性的情况表，可知平衡点（0，0）是不稳定的。其图形如下：（4）如上题可求得平衡点为（1,0），特征值λ1=-1，λ2=-2；p=-(λ1+λ2)=3>0，q=λ1λ2=2>0；对照稳定性的情况表，可知平衡点（1，0）是稳定的。其图形如下：2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落
3、.设病菌的数目为N，单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有，但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N1/2成比例，其比例系数为r2，求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的?解：由题意很容易列出N满足的微分方程：令=0，可求得方程的两个平衡点N1=0,N2=进而求得令可求得N=则N=N1，N=N2，N=可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分别有；；。则可以画出N（t）的图形，即微分方程的解族，如下图所示：由图形也可以看出，对于方
4、程的两个平衡点，其中N1=0是不稳定的；N2=是稳定的。3、有限资源竞争模型1926年Volterra提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型假设，称为物种i对食物不足的敏感度，（1）证明当x1(t0)>0时，物种2最终要灭亡;（2）用图形分析方法来说明物种2最终要灭亡.解：（1）由上述方程组f（x1）==0，f（x2）==0，可得方程的平衡点为P0（0,0），P1（,0），P2（0,）.对平衡点P0（0,0），系数矩阵则p=-（b1+b2）<0，所以该平衡点不稳定。对平衡点P1（,0），系数矩阵则p=
5、，q=，由题意，x1(t0)>0，可以得出p>0,q>0,因此该平衡点是稳定的。即时，，说明物种2最终要灭亡。对平衡点P2（0,），同理可以得到q<0，在该平衡点不稳定。因此，在，x1(t0)>0的条件下，物种2最终要灭亡。（2）对于线性方程组在平面上匹配两条直线l1和l2，由题意，x1(t0)>0，可将第一象限分为三个区域。在最左边区域，都大于0；在中间区域，都小于0，在最右边区域，分别是大于0和小于0.，由各区域中的取值可得到如下图形：由图也可以看出，随着时间的增加，物种1最终能达到稳定值，物种2最终要灭亡。
6、4、蝴蝶效应与混沌解考虑Lorenz模型其中σ=10，ρ=28，β=8/3，且初值为,x1（0）=x2（0）=0，x3（0）=ε，ε为一个小常数，假设ε=10-10，且0≤t≤100。（1）用函数ode45求解，并画出x2~x1,x2~x3,x3~x1的平面图；（2）适当地调整参数σ，ρ，β值，和初始值x1（0），x2（0）=0，x3（0），重复一的工作，看有什么现象发生。解：（1）编写Lorenz函数，functionxdot=lorenz1(t,x,b,a,c)xdot=[-b*x(1)+x(2)*x(3);
7、-a*x(2)+a*x(3);-x(1)*x(2)+c*x(2)-x(3)];对各参数赋值并用ode45函数求解，可得数值解：Columns1through900.12500.25000.37500.50000.53520.57050.60570.640900.00000.0000-0.0000-0.00000.00000.00000.00000.000000.00000.0000-0.0000-0.00000.00000.00000.0000-0.00000.0000-0.0000-0.00000.00000.
8、00000.0000-0.00000.00000.0000Columns10through180.67610.71140.74660.78180.83080.87970.92860.97761.01050.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.
