工程力学 静力学与材料力学 教学课件 作者 王永廉 13弯曲变形.ppt

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1、第十三章弯曲变形第一节引言一、梁对称弯曲时的变形对称弯曲时，梁的轴线弯成一条光滑连续的平面曲线。该曲线称为梁的挠曲线建立图示坐标系，有挠曲线方程二、梁的位移参量弯曲变形所导致的梁横截面的位移可用两个参量来描述——横截面形心的竖向线位移，横截面绕中性轴转动的角度，1.挠度（线位移）为挠曲线的纵坐标w，规定上正下负；即2.转角（角位移）在小变形情况下，转角为记作，规定逆时针旋向为正，反之为负，第二节挠曲线近似微分方程一、梁的挠曲线（中性层）曲率式中，EIz称为梁的抗弯刚度。二、梁的挠曲线近似微分方程联立高等数学中的曲

2、率计算公式得梁的挠曲线近似微分方程第三节计算弯曲变形的积分法对梁的挠曲线近似微分方程一次积分，得转角方程二次积分，得挠曲线方程说明：1）若弯矩方程M(x)为分段函数，积分则应分段进行；2）积分常数由梁的位移边界条件以及位移连续条件确定。式中，C、D为积分常数。[例1]试列出下列各梁的位移边界条件[例2]受均布载荷作用的简支梁如图所示，已知抗弯刚度EI为常数，试求此梁的最大挠度以及截面A的转角。1）列弯矩方程解：2）建立转角方程和挠曲线方程对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程再积分一次，得挠曲线方程3）确定积分常

3、数该梁的位移边界条件为解得积分常数故得梁的转角方程和挠曲线方程分别为4）计算最大挠度和最大转角由梁的变形图易见，梁的最大挠度发生于x=l/2的跨中截面处，故得最大挠度截面A的转角：[例3]图示简支梁，在截面C处受集中力F作用，试建立梁的转角方程和挠曲线方程，并计算最大挠度和最大转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。1）列弯矩方程解：支座反力分段列弯矩方程AC段（0≤x1≤a）CB段（a≤x2≤l）分段积分，得转角方程和挠曲线方程分别为AC段（0≤x1≤a）CB段（a≤x2≤l）2）建立转角方程和挠曲线方程3）确定积分常数

4、位移边界条件：位移连续条件：根据上述条件求得四个积分常数分别为AC段（0≤x1≤a）CB段（a≤x2≤l）所以，最终梁的转角方程和挠曲线方程分别为AC段（0≤x1≤a）CB段（a≤x2≤l）4）计算最大转角和最大挠度假设a＞b，可得梁的最大转角AC段（0≤x1≤a）CB段（a≤x2≤l）最大挠度第四节计算弯曲变形的叠加法叠加法的要点——1）叠加法适用前提：线弹性、小变形3）必须画出叠加变形图2）记住常用结论4）掌握叠加法的常用技巧[例4]图示悬臂梁，同时承受集中载荷F1和F2的作用。设梁的抗弯刚度为EI，试用叠加法

5、计算自由端C的挠度wC。解：[例5]阶梯悬臂梁如图，试求自由端端C的挠度wC。已知BC段梁的抗弯刚度为为EI、AB段梁的抗弯刚度为为2EI。解：[例6]外伸梁如图，试用叠加法计算截面C的挠度wC和转角C，设梁的抗弯刚度EI为常量。解：第五节弯曲刚度计算一、梁的刚度条件式中，[w]为梁的许用挠度2.采用合理的截面形状选用具有较高Iz/A比值的截面形状3.减小梁的跨度结论：工字形截面较为合理二、提高梁的弯曲刚度的措施1.合理选材选用弹性模量E较高的材料结论：用高强度合金钢取代普通碳钢对于提高弯曲刚度没有意义[例7]图

6、示简支梁由No.18工字钢制成，长度l=3m，受q=24kN/m的均布载荷作用。材料的弹性模量E=210GPa，许用应力[]=150MPa，梁的许可挠度[w]=l/400。试校核梁的强度和刚度。解：1）强度校核最大弯矩查型钢表，Wz=186cm3，故梁的强度满足要求根据弯曲正应力强度条件2）梁的刚度校核查型钢表，得Iz=1660cm4梁的最大挠度发生在中间截面，为由于故梁的刚度满足要求第六节简单超静定梁4.由补充方程求出多余未知力，即转为静定问题。求解简单超静定梁的基本步骤——1.解除多余约束，以相应的多余未知力

7、代之作用，得到原超静定梁的相当系统；2.根据多余约束处的位移条件，建立变形协调方程；3.计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调方程得补充方程；[例8]图示圆形截面梁，承受集中力F作用。已知F=20kN，跨度l=500mm，截面直径d=60mm，材料的许用应力[]=100MPa，试校核该梁的强度。解：1）解除多余约束2）建立变形协调方程3）建立补充方程4）求解多余未知力解得作弯矩图5）强度计算最大弯矩根据梁的弯曲正应力强度条件结论：该梁的强度符合要求