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1、4.1.2圆的一般方程圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径：(x-1)2+(y+2)2=2(x+2)2+(y-2)2=5(x+a)2+(y-2)2=a2(a≠0)特征：直接看出圆心与半径复习x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-++-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数结论：任何一个圆方程可以写成下面形式动动手1.是不是任何一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程都表示的曲线是圆呢？思考下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0；（2）x
2、2+y2-2x-4y+5=0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.将左边配方，得（1）当时,它表示以为圆心,以为半径的圆;D2+E2-4F>0(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不表示任何图形．所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）可表示圆的方程圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆的一般方程与标准方程的关系：(D2+E2-4F>0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r=②没有xy这样的二次项（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：①x2与y2系数相同
3、并且不等于0；例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（1，-2）半径3是圆心（3，-1）半径不是不是不是已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于2.x2+y2-2ax-y+a=0是圆的方程的充要条件是练习下列方程各表示什么图形?若是圆则求出圆心、半径.a例2：(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系
4、:一般方程标准方程[小结一]:典例精析例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法方法一：yxM1(1,1)M2(4,2)0圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点的距离因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2ïïìíî（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法方法二：所求圆的方程为：即（x-4）2+（y+3）2=25ïïìíîa=4b=-3r=5解得举例例1：求过三点O
5、(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的一般方程为：因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上，则ïïìíîF=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法方法三：ïïìíîF=0D=-8E=6解得小结二(特殊情况时,可借助图象求解更简单)注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:①若知道或涉及
6、圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.例2.已知一圆过p(4,-2).Q(-1,3)两点，且在y轴上截到的线段长为4，求圆的方程。解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令x=0,得y2+Ey+F=0又
7、y1-y2
8、=4∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48⑴将P,Q两点的坐标代入得：4D-2E+F=0⑵D-3E-F=0⑶∴由⑴⑵⑶得:D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=-4例3.已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为
9、1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.举例yx.O..（-1，0）A(3,0)M(x,y)直接法练习：已知点P在圆C：上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。练习：⑴点P(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点，求过点P的最短弦所在直线方程。⑵圆C:x2+y2+2x+4y-3=0到直线x+y+1=0的距离为的点有几个？⑶圆x2+y2-4x+2y+F=0与y轴交于AB两点，圆心为C.若∠ACB=900,求F.⑷已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆，求该圆半径r的取值范围。1.本节课的主要内容是圆的一
10、般方程,其表达式为(用配方法求解)3.
