圆的一般方程

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1、圆的一般方程知识回顾：圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2其中：圆心；半径提问：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么？(x－1)2＋(y+2)2=4将它展开得这是一个二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-++-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：任何圆的方程都是这样的二元二次方程吗？结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这说明圆的方程就是一个二元二次方程。讨论:

2、方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆吗?我们先来判断两个具体的方程是否表示圆？不是不是满足什么条件时表示圆?探讨配方可得：（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以不表示任何图形。把方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（）为圆心，以()为半径的圆（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2y=-E/2，表示一个点（）（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（）为圆心，以()为半径的圆二元二次方程表示的曲线不一定是圆,只有当时，它表示的曲线才是圆，结论：我们把方程(称

3、为圆的一般方程)比较，就会发现方程①具有两个特点：（1）和项的系数相等且不为0．（2）没有这样的二次项．①式是一个二元二次方程，它同一般的二元二次方程②①因为所有圆的方程都可以表示成的①形式，所以方程①的以上两个特点就成为二元二次方程表示圆的必须具备条件。二元二次方程表示圆的充要条件是问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?圆的标准方程圆的一般方程圆的方程圆心半径优点圆的一般方程与标准方程的特点：几何特征明显突出方程形式上的特点r例1：将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心的坐标和半径。（1）（2）解：巩固练习将下列圆的方程

4、化为标准方程，并写出圆的圆心的坐标和半径。（1）（2）例2：求过A（0，5），B（1，-2），C（-3，-4）三点的圆的方程。解：设所求圆的方程为：因为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)都在圆上,所以它们的坐标都是此方程的解，把它们的坐标代入上面的方程，得到关于D，E，F的三元一次方程组解这个方程组，得D=6，E=-2，F=-15于是，所求圆的方程为巩固练习求过A（0，0），B（3，2），C（-4，0）三点的圆的方程。解：设所求圆的方程为：因为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)都在圆上,所以它们的坐标都是此方程

5、的解，把它们的坐标代入上面的方程，得到关于D，E，F的三元一次方程组解这个方程组，得D=6，E=-2，F=-15于是，所求圆的方程为例2.已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.举例yx.O..（-1，0）A(3,0)M(x,y)直译法例3、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则动点P的轨迹方程为oyxBPA举例举例例4.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设点M的坐

6、标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0）由于B点坐标为（4，3），M为AB的中点，所以整理得又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足方程，又有（x0+1）2+y02=4所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4整理得所以，点Ｍ的轨迹是以（　）为圆心，１为半径的圆yABMxo例5.已知直角三角形ABC的两个顶点坐标A（-1，0）和B（3,o）求（1）直角顶点C的轨迹方程(2)直角边BC的中点M的轨迹方程AB•O•c法举例例6.已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1)、B(x2，y2).证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-

7、y1)(y-y2)=0AB•C•P解法一：求圆心、求半径解法二：直译法P点满足PA⊥PB即举例(1)任何一个圆的方程都可以写成的形式，但是方程表示的曲线不一定是圆；当时，方程（2）圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化;熟练应用配方法求出圆心坐标和半径.称为圆的一般方程。(3)用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.一般方程标准方程(圆心,半径)练习A第1题、第2题。思考：如何求过三点的圆的方程。祝同学们学习进步