高考数学必修知识讲解直线的一般式方程及综合提高.doc

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1、直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴

2、垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y―y1=k(x―x1)（x1，y1）是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式（x1，y1

3、），（x2，y2）是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax+By+C=0（A2+B2≠0）A、B、C为系数任何位置的直线要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存

4、在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线,,；于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．（2）从一般式考虑：且或，记忆式（）与重合，，，于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1

5、．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是，经过点A（8，―2）；（2）经过点B（4，2），平行于x轴；（3）在x轴和y轴上的截距分别是，―3；（4）经过两点P1（3，―2），P2（5，―4）．【答案】（1）x+2y―4=0（2）y―2=0（3）2x―y―3=0（4）【解析】（1）由点斜式方程得，化成一般式得x+2y―4=0．（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0．（3）由截距式得，化成一般式得2x―y―3=0．（4）由两点式得，化成一般式方程为．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于

6、直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线经过点，且倾斜角是，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】【解析】因为直线倾斜角是，所以直线的斜率，所以直线的点斜式方程为：，化成一般式方程为：.【高清课堂：直线的一般式381507例4】例2．的一个顶点为，、的平分线在直线和上，求直线BC的方程.【答案】【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A点关于的平分线的对称点在

7、BC上，B点关于的平分线的对称点也在BC上．写出直线的方程，即为直线BC的方程.例3．求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线的方程．【答案】3x+4y―11=0【解析】解法一：设直线的斜率为k，∵与直线3x+4y+1=0平行，∴．又∵经过点（1，2），可得所求直线方程为，即3x+4y―11=0．解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为3x+4y+m=0，∵经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11．∴所求直线方程为3x+4y―11=0．【总结升华】（1）一般地，直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与

8、直线Ax+By+C=0平行的直线可设为