利用导数研究函数的图像.ppt

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1、利用导数研究函数的性质主要内容：一、函数的单调性，极值，最值二、利用导函数的单调性研究函数图像的凹凸性在研究函数特性时往往需要知道函数的直观图形，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制出函数的较精细的图形.下面来看导数的几何意义:如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.斜率!βPy=f(x)QMΔxΔyOxyPQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.单调性导数的正负函数及图象x

2、yoxyo切线斜率的正负xyo函数单调性与导数的关系？负正负正在区间(a,b)上递增在区间(a,b)上递减正正负负aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0由上我们可得以下的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.函数的极值定义如果对X0附近的所有点X，都有f(x)

3、称为函数f(x)的一个极大植点。如果对X0附近的所有点X，都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点X0处取极小值，记作y极小值=f(x0)；并把X0称为函数f(x)的一个极小植点。◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点已知函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，abba、函数的最值最大值：一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：⑴任意的x属于I,都有f(x)≤M⑵存在某个X满足f（x）=M，则称M是函数f（x）的最大值。最小值：一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：⑴任意的x属于I

4、,都有f(x)≥M⑵存在某个X满足f（x）=m，则称m是函数f（x）的最小值。对于一段在闭区间上连续的函数，通过把极值和两个端点值比较得到最值”曲线弯曲方向—凹凸性观察右图：切线的斜率越来越大二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧；二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二阶导数为零，且两侧异号，是拐点.观察右图：切线的斜率越来越小拐点凸弧分界点凹弧谢谢一组出品必是精品