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《高考数学人教新课标A版课件 第2篇1-3.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三讲 平面向量的数量积重点难点重点:①平面向量的数量积及其几何意义,数量积的性质及运算律,数量积的坐标表示.②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.难点:平面向量数量积的应用.知识归纳1.向量数量积的定义(1)向量a与b的夹角当时,a与b垂直,记作a⊥b;当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,并规定零向量与任一向量的数量积为0.
2、a
3、
4、b
5、cosθ(3)如图,过B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则OB1=叫
6、做向量b在a方向上的投影.
7、b
8、·cosθ当θ为锐角时,如图(甲),它是正值;当θ为钝角时,如图(乙),它是负值;当θ为直角时,如图(丙),它是0;当θ为0°时,它是
9、b
10、;当θ为180°时,它是-
11、b
12、.(4)平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
13、a
14、与b在a方向上的投影
15、b
16、cosθ的乘积.2.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=
17、a
18、·cosθ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=
19、a
20、
21、b
22、;当a与b反向时,a·b=-
23、a
24、
25、b
26、;特别地,a
27、·a=
28、a
29、2或
30、a
31、=.3.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.4.平面向量数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=.(4)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a、b都是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0⇔.x1x2+y1y2x1x2+y1y2=0误区警示1.若a·b=0,a≠0不一定有b=0,因为当a⊥b时,总有a·b=0.2.对于实数a、b、c,当b≠0时,若ab=bc,则a=c.但对于向量a,b,c,当b≠0
32、时,由a·b=b·c却推不出a=c.因为由a·b=b·c得b·(a-c)=0,只要a-c与b垂直即可.3.数量积不满足结合律,即对于向量a、b、c,(a·b)·c≠a·(b·c),这是因为a·b与b·c都是实数.(a·b)·c与c共线,a·(b·c)与a共线,而c与a却未必共线.4.若=θ,则a在b方向上的投影为
33、a
34、·cosθ,b在a方向上的投影为
35、b
36、·cosθ,应注意区分.解题规律夹角及垂直问题(1)若向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)的夹角为θ,(2)当a、b都是非零向量时,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.[例
37、]如图所示,在△AOB中,若A,B两点坐标分别为(2,0),(-3,4),点C在AB上,且平分∠BOA,求点C的坐标.解析:设点C坐标为(x,y)由于cos∠AOC=cos∠BOC,且[例1](08·江苏)已知向量a与b的夹角为120°,
38、a
39、=1,
40、b
41、=3,则
42、5a-b
43、=________.分析:由
44、a
45、与
46、b
47、及夹角可求a·b,进而可求
48、5a-b
49、2.(09·辽宁)平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),
50、b
51、=1,则
52、a+2b
53、=()解析:∵
54、a
55、=2,∴
56、a+2b
57、2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4×12=12
58、.∴
59、a+2b
60、=答案:B方法2:排除法,D中y=0不合题意;C不是单位向量,舍去;代入A,不合题意,故选B.(09·江西)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若(a-c)∥b,则k=________.解析:a-c=(3-k,-1),b=(1,3).∵(a-c)⊥b,∴1×(3-k)+(-1)×3=0⇒k=0.答案:0[例3]已知向量a=(cos15°,sin15°),b=(-sin15°,-cos15°),则
61、a+b
62、的值为()已知a与b的夹角为θ,定义a×b为a与b的“向量积”:a×b是一个向量,它的长度
63、a×b
64、=
65、a
66、·
67、b
68、
69、sinθ.若u=(2,0),u-v=(1,-),则
70、u×(u+v)
71、=________.[例4]已知a,b是非零向量,若a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直.试求:a与b的夹角.分析:求a、b的夹角θ可利用公式a·b=
72、a
73、
74、b
75、cosθ,利用题设中的垂直条件,可得
76、a
77、、
78、b
79、的方程组求得
80、a
81、、
82、b
83、的关系,将它代入公式求出θ的值.由①-②得46a·b-23b2=0,所以b2=2a·b.将它代入②得a2=2a·b,∴
84、a
85、=
86、b
87、.所以由b2=2a·b可知
88、b
89、2=2
90、a
91、
92、b
93、cosθ,所以cosθ=,所以θ=60°.即所求的向量
94、a,b夹角为60°.方法2:由条件知:①×15+②×8得
95、a
96、=
97、b
98、,由①得7
99、a
100、2+16