高考数学人教新课标A版课件 第2篇1-3.ppt

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1、第三讲 平面向量的数量积重点难点重点:①平面向量的数量积及其几何意义,数量积的性质及运算律,数量积的坐标表示.②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.难点:平面向量数量积的应用.知识归纳1.向量数量积的定义(1)向量a与b的夹角当时,a与b垂直,记作a⊥b;当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,并规定零向量与任一向量的数量积为0.

2、a

3、

4、b

5、cosθ(3)如图,过B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则OB1=叫

6、做向量b在a方向上的投影.

7、b

8、·cosθ当θ为锐角时,如图(甲),它是正值;当θ为钝角时,如图(乙),它是负值;当θ为直角时,如图(丙),它是0;当θ为0°时,它是

9、b

10、;当θ为180°时,它是-

11、b

12、.(4)平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

13、a

14、与b在a方向上的投影

15、b

16、cosθ的乘积.2.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=

17、a

18、·cosθ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=

19、a

20、

21、b

22、;当a与b反向时,a·b=-

23、a

24、

25、b

26、;特别地,a

27、·a=

28、a

29、2或

30、a

31、=.3.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.4.平面向量数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=.(4)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a、b都是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0⇔.x1x2+y1y2x1x2+y1y2=0误区警示1.若a·b=0,a≠0不一定有b=0,因为当a⊥b时,总有a·b=0.2.对于实数a、b、c,当b≠0时,若ab=bc,则a=c.但对于向量a,b,c,当b≠0

32、时,由a·b=b·c却推不出a=c.因为由a·b=b·c得b·(a-c)=0,只要a-c与b垂直即可.3.数量积不满足结合律,即对于向量a、b、c,(a·b)·c≠a·(b·c),这是因为a·b与b·c都是实数.(a·b)·c与c共线,a·(b·c)与a共线,而c与a却未必共线.4.若=θ,则a在b方向上的投影为

33、a

34、·cosθ,b在a方向上的投影为

35、b

36、·cosθ,应注意区分.解题规律夹角及垂直问题(1)若向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)的夹角为θ,(2)当a、b都是非零向量时,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.[例

37、]如图所示,在△AOB中,若A,B两点坐标分别为(2,0),(-3,4),点C在AB上,且平分∠BOA,求点C的坐标.解析:设点C坐标为(x,y)由于cos∠AOC=cos∠BOC,且[例1](08·江苏)已知向量a与b的夹角为120°,

38、a

39、=1,

40、b

41、=3,则

42、5a-b

43、=________.分析:由

44、a

45、与

46、b

47、及夹角可求a·b,进而可求

48、5a-b

49、2.(09·辽宁)平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),

50、b

51、=1,则

52、a+2b

53、=()解析:∵

54、a

55、=2,∴

56、a+2b

57、2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4×12=12

58、.∴

59、a+2b

60、=答案:B方法2:排除法,D中y=0不合题意;C不是单位向量,舍去;代入A,不合题意,故选B.(09·江西)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若(a-c)∥b,则k=________.解析:a-c=(3-k,-1),b=(1,3).∵(a-c)⊥b,∴1×(3-k)+(-1)×3=0⇒k=0.答案:0[例3]已知向量a=(cos15°,sin15°),b=(-sin15°,-cos15°),则

61、a+b

62、的值为()已知a与b的夹角为θ,定义a×b为a与b的“向量积”:a×b是一个向量,它的长度

63、a×b

64、=

65、a

66、·

67、b

68、

69、sinθ.若u=(2,0),u-v=(1,-),则

70、u×(u+v)

71、=________.[例4]已知a,b是非零向量,若a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直.试求:a与b的夹角.分析:求a、b的夹角θ可利用公式a·b=

72、a

73、

74、b

75、cosθ,利用题设中的垂直条件,可得

76、a

77、、

78、b

79、的方程组求得

80、a

81、、

82、b

83、的关系,将它代入公式求出θ的值.由①-②得46a·b-23b2=0,所以b2=2a·b.将它代入②得a2=2a·b,∴

84、a

85、=

86、b

87、.所以由b2=2a·b可知

88、b

89、2=2

90、a

91、

92、b

93、cosθ,所以cosθ=,所以θ=60°.即所求的向量

94、a,b夹角为60°.方法2:由条件知:①×15+②×8得

95、a

96、=

97、b

98、,由①得7

99、a

100、2+16

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