高等数学_导数的概念1.ppt

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1、第九节第二章一、实例分析二、导数的概念四、导数的几何意义五、可导与连续的关系三、利用定义求导数举例导数的概念一、导数的概念1.定义2.1设函数y=f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.若(1)存在,则称函数在点x0处可导,并称此极限值为y=f(x)在点x0处的导数，记作也可记作:注1°若极限(1)不存在，此时，导数不存在；曲线上对应点有垂直于x轴的切线.则称f(x)在点x0处不可导.特别地，在点x0处的导数为无穷大.2°导数的其它形式3°例1(1)解(2)解2.单侧导数在点的某个右邻域内有定义,(左)设函数若极限则称此极限为存在,在点

2、x0处的右导数.(左)3.可导的充要条件定理证因为∴定理成立.解例24.区间上可导若函数f(x)在开区间I内每点都可导,则称函数f(x)在I内可导.此时，对于任一xI,都对应着f(x)的一个确定的导数值，所构成的新函数称为导函数.记作若f(x)在开区间(a,b)内可导，且及都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导.注一般地，如：xyO三、利用定义求导数举例(C为常数)的导数.解即例3求函数步骤:例4求函数解注一般地，对幂函数(为常数)（以后将证明）例如，例5求函数的导数.解则即类似可证得解则∵当h0时,例6例7求函数的导数.解即四

3、、可导与连续的关系定理证设在点x0处可导,即其中从而故可导连续例9解xyO注1°问：对于例9下面推导是否正确？为什么？答：不正确.错误原因：2°讨论分段函数在分段点的可导之步骤：(1)先查分段点处的连续性.若不连续，必不可导.若在分段点处连续，则需从导数定义出发，讨论分段点处的可导性.例10解例11解内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量之比的极限;切线的斜率;？思考题1.解()下述方法是否正确？

4、反例见例2:()答：不一定.反例见例2.2.3.函数f(x)在某点x0处的导数f(x)区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数若时,恒有问是否在点处可导?解由题设由夹逼准则故在点处可导,且4.备用题例1-1解解因为设存在,且求所以例1-2例1-3解例8-1问曲线上哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解令得对应平行.即其方程分别为例9-1解不存在例9-2解铅直渐近线例9-3解解例9-4解例10-1分段点的导数用定义求例10-2设,问a取何值时,处处存在,并求出解故时从而在都存在,该函数在及都可导，在x=0处，在

5、处连续,且存在，证明:在处可导.证因为存在，故有又在处连续,所以即在处可导.例11-1即