高等数学导数概念

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1、第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton本章主要内容第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数（二阶导数）第四节隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数第五节函数的微分一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系第一节导数的概念第二章一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2.曲线的切线斜率曲线在M

2、点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率★关于导数的说明：不存在,就说函数在点不可导.若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值

3、构成的新函数称为导函数.记作:就称函数在I内可导.的导数为无穷大.若极限求简单函数的导数举例步骤:例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）例3.求函数的导数.解:则即类似可证得例4解例5解在点的某个右邻域内单侧导数若极限则称此极限值为在处的右侧导数,记作即(左)(左)定义2.设函数有定义,存在,定理1.函数在点且存在简写为若函数与都存在,则称在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且例6解三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x

4、轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:例7求等边双曲线在点处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解所求切线及法线的斜率分别为所求切线方程为即所求法线方程为即练习求曲线的通过点(04)的切线方程解设切点的横坐标为则切线的斜率为于是所求切线的方程可设为根据题目要求点(04)在切线上因此解之得于是所求切线的方程为即3xy40四、函数的可导性与连续性的关系定理2.证:设在点x处可导,存在,因为故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续，但在该点未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即例8讨论函数处的连续性与可导性.解：所以

5、处连续.011/π－1/π在,此极限不存在所以处不可导内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限切线的斜率;(变化率)思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且5.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:显然该函数在x=0可导.故时此时在都存在,作业P652,5,6,7(1)第二节思考题解

6、:因为1.设存在,且求所以在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设故原式是否可按下述方法作:3.设存在,求极限解:原式牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼茨(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论

7、文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.