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1、"%%$年第I期中学数学月刊G"HG二阶线性递推数列的研究祁平!苏州市教育科学研究院"#$%%&’近十几年(数学竞赛中常有涉及二阶线明性质"?性递推数列的问题)国内刊物介绍二阶线性证明由题设得*="两#-.=#-01%(递推数列!*+边同乘以=,/"得*=,,/#,/"同,-.+,/#-0+,/"1%(*02%(##-.=#-0=#1%(理得*=,,/#,/"两式相加得,3&’的文章虽然较多(但这类文章!如4#5("-.="-0="1%(4"5’均直接引入6特征方程7的概念(读者常*+,-.+,/#-0+,/
2、"1%)有是怎样想到引入6特征方程7来研究8+所以+,,是某个二阶线性递推,9,1=#-="的通项的疑问)本文的研究(将回答这一问数列*+的通项公式),-.+,/#-0+,/"1%题)有了性质"(我们就不难知道(在中学代数里(这样一个简单问题@6已知@*=":一阶线性递推数列的启示-.=-考虑一阶线性递推数列*+01%!*2%’的两根为=<<,-.+,/#1#(="(+<1=#-="!<%(*.2%(,3")1#("(&’(求证@*+&-.+"-0+#1%)7的出不失一般性(可以假设*1#)由+,1处)该问题
3、只是性质"的一个特例)",/#把两个性质结合起来(就有下面的@/.+,/#1!/.’+,/"1;1!/.’+#(知道一阶线性递推数列+的通项推论:设*=",-.+,/#1%-.=-01%!*2%’的公式是+,/#+两根为=为常数(则+,1!/.’#)#(="!=#2="’(A(B,1受一阶线性递推数列通项公式的启示(,,是某个二阶线性递推数列*+A=#-B=",-自然希望二阶线性递推数列也有形如+,1.+,/#-0+,/"1%的通项公式),的通项公式)当+给定(如何求二阶线性递推数列<=#(+"取,1#("(
4、&代入通项公式(得到+#1*+,-.+,/#-0+,/"1%的通项呢C"&<=(+"1<=(+&1<=(再代入递推关系式将推论#中引入的A(B看作待定常数("由于+给定(必有关于未知数A(B的方程*+&-.+"-0+#1%(得到*=-.=-01%)#(+"可见二阶线性递推数列通项公式中的=应该EA=#-B="1+#(=#="组D而行列式2%(是方程*="""""-.=-01%的根)FA=#-B="1+"(=#="总能找到A(B使+,,且,1#(">二阶线性递推数列的通项公式,1A=#-B="(一阶线性递推数列
5、通项公式完全由+#时(+#(+"就为给定的值)决定(但是二阶线性递推数列通项公式需要有一点不足的是(上面的方法只当方程由+和+一起决定(为此(需要进一步研究"#"*=-.=-01%的两根=#2="时(才能使二阶线性递推数列通项公式的性质)用)对两根相等的情况(我们建立推论")性质:如果=是方程*="推论>设*="-.=-01-.=-01%!*2%’的,是某个二阶线性递推数两根相等为=,,%的根(那么+,1<=%(+,1,A=%-B=%!,1#("(列*+,-.+,/#-0+,/"1%的通项公式);’(A(B为
6、待定常数(则+,是某个二阶线性性质>如果=是方程*="递推数列*+的通项公#(="-.=-,-.+,/#-0+,/"1%01%的两个根(那么+,,是某个二式),1=#-="简证将*="两边同乘阶线性递推数列*+,-.+,/#-0+,/"1%的%-.=%-01%通项公式)以,A=,/"易得*!,A=,,/#%(%’-.!,A=%’-类似上面的讨论(容易证明性质#(现证,/"即*!,A=,0!,A=%’1%(%’-.4!,/T-RT中学数学月刊-’’;年第N期!"#$%&!%&-%&!为满足7解方程组’()*+,
7、%&-"#$’()#,.$’)!/!17-/-1%&-#)6/!1-*$’"/’0得6/’1#/!157%/%#)又#,.$%&!%&-%&-B-#)6/-1’)-*$’"/#$’,.$’)-*".-.,%)!"6/%0即B7%C为正整数数列0/’1,2$’/&1.&43*/’15&-3-3有了推论!H推论-1要判断B7是否为%C/&-*1即$-*周期数列1就方便多了0’/&1则.$’)-*/’0"..%)E53,%#$%%&!&!):EF’").+,%&!"#$’()*+,%如例-17%)E/<=)-%&-
8、&-"#’(/’0,!"%)E&!&:EF%%&!%&-/7又由性质!136$%1B7%C的周期为E0’).6$’)*6$’/<-=’0,-"例I已知函数J,$"定义在非负整数%%是某个,!"),-"即得7%/%#$’)6$’集上1且对于任意正整数$1都有J,$"/J,$二阶线性递推数列37%).7%&!)*7%&-/’&!")J,$)!"0若J,’"/!KK-1求的通项公式0J,!KK-"08应用
