常见的非线性递推数列通项公式求法.pdf

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1、32上海中学数学·2009年第4期9g"见的非线性递推数列通项公式求法315192浙江省宁波华茂外国语学校冯新辉戴宏照我们经常遇到含有分式根式或二次式等非．6—／2)(2^／2+／6+6+／2)cz√2—√6线性递推关系．如何根据这些非线性递推关系··“———————————————————————=■————————————————一2√3求数列的通项公式呢?说明：二阶线性递推式an+l+pa+qa一1—一0(n≥2，n∈N，P，q为常数)对应的特征方、转化法程z一舡+q一0的两根(可为虚根)为Xl，X2，1．要求通项公式，利用an+

2、1一S+1一S先①若1≠X2，则a一n+，n～；②若Xl求s，再求a．—X2，则a一(A+Bn)zr卜．其中的待定系数1例1．已知数列{a}满足2S一a+，A，B由已知的n1，a2联立解出．ana>0，其中s是数列{a}的前项和，求数列二、不动点法{a)的通项公式．对于函数一-厂()，若存在XO∈R，使分析：本题若用S一S1一＆消去S，直f(xo)一37．0成立，则称320为函数Y一厂()的不接求a，是十分困难的，但若转化为先求s再动点．求n，问题就变得很简单．解：依题意S1一al一1，当≥2时，2S(S1．若厂(-T)一丰(AD—Bc

3、≠o)的不一S一1)一(S一S，卜1)+1S；一S；1—1动点为1，X2，对于递推数列n抖l—f(a)，容数列{s；}是首项为1，公差为1的等差数列，即S；一S}+(一1)=：，又a>0S一√易证明：(1)z一z时，数列f—l是公差da一S一S一1一一~／，z一1，一1也成立一—的等差数列；(2)l≠2时，数列nZ1——L／＆一~／一、二_『．2．由已知递推式得到两个并列的递推式，{)是公比q一会菱_三的等比数列．先直接或变形相减，消去某些项(多为常数项)转求新数列的通项，再求n．化为线性递推式，再用特征方程法或换元法求例3．(2005

4、年重庆高考)数列{a)满足al出通项公式，将非线性关系转化为线性关系是一一种通法．1且8a卅la一16口抖1+2n+5—0(≥1)．记一一—l_丁(≥1)例2．已知数歹0{a}，al一√2，a2—2，an+2．(1)求61、b2．63、64的＆1+2什2一一——'水an．an值；(2)求数列{b)的通项公式及数列{口b)的解：依题意口3—6√2，a≠0，an+2a一n1前项和S．+2什．①解：(1)原递推式变形为口外1一二2a．+5，an+1a一1一a2．+2件．②①一2×②得：a+2an～2a+1an-1一n1一对应函数的不动点为l一

5、专，X2一÷，设一115“n+lUn。一什一”一—c计1a+l+2n1a+2a”2a3+2al——,el一一一—。——Tanan-1a2一__什一～4，即a，l+14-2a一1=4．③'．．．③的特征方程2～4~／2+2_一0的两根为,791，2—2√2±2n+5一专(一8d+16)＆一寺1,／g，．‘．n一n+，n，又Ⅱ1一A+B一，2+5一辜(一8+16)口一2’a2一Ax1+Bx2—2，代人Xl，2求得A一B一±，，2√32√3上海中学数学·2009年第4期33新数列，先求出新数列的通项公式，再求原数列‘的通项公式．．一c(1)一

6、一2(专)一—a．2例5．已知数列{a}，al=4，口件1—3口；，求口．％一百分析：由于等式两边各一项，故可取对数降一一幂．此法也适用于其它类似高次式．z(1)一等，．．一，解：依题可知，。>0，同时取对数得lgn什1·—2lga+lg3，设b一lga，则bl—lg4，6叶1—．．61—2，62一要，63—4，64一20．2+lg3，．‘．6+1+lg3—2(+lg3)，．。．数列{b(2)由(1)知一2n~4，得n6一++lg3}是首项为lg12，公比为2的等比数列，．’．b+1g3—2lgl2卿6一lg，n一．号一÷+5_1)．说

7、明：本题利用题设转化为线性递推式例6．已知数列a)，al一1，a计1一(1+6+1—2b一4再求通项也很简单．．4a-t-,／i-+24a)，求n．解：为使递推式有理化，设一1+24a，2．如果函数厂(z)一差{名有两个不动点则a一(一1)，1，2，且n+1一厂(口)，易得—an-t-1—-．T．1一将ba一5代入原递推式得：(61—1)一(、n)，迭代即得一(—6n-1—-X1)—Z2，n一Z2＼an-I—Z2，j111+42_1)]，21)2一一⋯一(专)‘，进而求nn．(+3)，又b>0，6r『十1一÷b+÷，．。．6+1—例4．

8、已知非零向一(z一1，o)一(．y一1，1)一(0，1)满足I一I，3一号(一3)，．·．bn-3一(6一3)()，得记一厂(z)，若数列{n}满足al一4，an+1一f(a)．b一(1)。+3，n一(6；