二阶线性递推数列的通项公式.pdf

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1、2010年5月保定学院学报May,2010第23卷第3期JOURNALOFBAODING保定学院学报UNIVERSITY201Vol．20年第3No．3期3文章编号：1674-2494（2010）03-0034-04二阶线性递推数列的通项公式高焕江（邢台医学高等专科学校数学教研室，河北邢台054000）摘要：在数学建模中常常用数列的递推公式求数列通项，由递推公式求数列通项既可考查等价与化归数学思想，又能加深考生对等差与等比数列的理解，因而这类题目在高考和数学竞赛中经常出现.故以一阶线性递推数列的通项公式为基础，推导出二阶线性递推数列的通项公式.关键词：

2、数列；递推公式；通项公式中图分类号：O122.7文献标识码：A引理1若数列{an}的递推公式为an+1=pan+q（p≠0），则有1）当p=1时，an=a1+（n-1）q；qn-1q2）当p≠1时，an=（a1-）p+.1-p1-q证明1）当p=1时，数列{an}是公差为q的等差数列，此时an=a1+（n-1）q；2）当p≠1时，令an+1+α=p（an+α），则有an+1=pan+α（p-1）．q将此式与an+1=pan+q比较，得α（p-1）=q，从而α=．p-1qqn-1设bn=an+α，则b1=a1+α=a1+，且bn+1=pbn，从而{bn}

3、是首项为a1+，公比为p的等比数列，故bn=b1p=p-1p-1qn-1qn-1q（a1+）p，于是an=bn-α=（a1-）p+.p-11-p1-p从以上推导过程可以看出，当递推公式an+1=pan+q中的参数p、q为复数时，结论仍然成立．1二阶齐次线性递推数列的通项公式[1]定理1若二阶齐次线性递推数列的递推关系为an+1=pan+qan-1，其中p≠0，q≠0，则有2n-1n-2q1）当p+4q=0时，an=a1β+（n-1）（a2-βa1）β，其中β=；2222a2-αa1n-1a2-αa1n-1p-姨p+4qp+姨p+4q2）当p+4q>0时

4、，an=（a1-）·α+·β，其中α=，β=；β-αβ-α22222a2-αa1n-1a2-αa1n-1p-i姨-p-4qp+i姨-p-4q3）当p+4q<0时，an=（a1-）·α+·β，其中α=，β=.β-αβ-α22证明令an+1-αan=β（an-αan-1），则有an+1=（α+β）an-αβan-1．α+β=p，将此式与已知递推公式an+1=pan+qan-1比较，有姨[2]αβ=-q.收稿日期：2009－11－25作者简介：高焕江（1963－），男，河北沧州人，副教授.高焕江：二阶线性递推数列的通项公式352pp1）当p+4q=0时，此方

5、程组有唯一一组实数解α=，β=，此时数列{an+1-αan}是首项为a2-αa1，公比为β的22n-1等比数列，从而an+1-αan=（a2-αa1）β．n+1an+1aan1aan+1an1上式两边同除以β，得n+1-·n=（a2-αa1）2，但由于=1，故有n+1-n=（a2-αa1）2．ββββββββan11令bn=n，则{bn}是公差为（a2-αa1）2的等差数列，故bn=b1+（n+1）（a2-αa1）2，从而βββn-1n-2n-1n-2an=a1β+（n+1）（a2-αa1）β=a1β+（n-1）（a2-αa1）β．222p-姨p+4q

6、p+姨p+4q2）当p+4q>0时，方程组有两组实数解．取其一组解作为α、β的值：α=，β=．显然有22an-1β-α≠0，≠1，则数列（an+1-αan）是首项为a2-αa1，公比为β的等比数列，从而an+1-αan=（a2-αa1）β．βn+1an+1aan1上式两边同除以β，得n+1-·n=（a2-αa1）2.ββββana1令bn=n，则bn+1=bn+（a2-αa1）2.βββa这个递推公式已经符合前面所讨论过的“an+1=pan+q”类型，且β-a≠0，≠1，由引理1得βa2-αa1an-1a2-αa1a2-αa1n-1a2-αa1n-1b

7、n=［b1-］（）+，从而an=（a1-）·α+·β．β（β-a）ββ（β-a）β-aβ-a22p-i姨-p-4q3）当p+4q<0时，方程组无实数解，但有两组复数解．取其中一组复数解作为α、β的值：α=，22p+i姨-p-4qαa2-αa1n-1a2-αa1n-1β=．显然β-α≠0，≠1，按照与2）相同的步骤也可推出an=（a1-）·α+·β．此时2ββ-aβ-a推得的通项公式与2）中推出的通项公式形式上完全相同，只不过此式中的α、β是复数而已．作为以上结论的应用，看如下2个求数列通项的例子．例1数列{an}中a1=1，a2=1，an+1=an+a

8、n-1（n≥2），求它的通项公式an．α+β=1，解令an+1-αan=β（an-αan-1）