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《例析二项展开式中系数最大项的求法_黄家仁.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数理化学习(高中版)四、巧用题设之间的特殊联系,构造条件作ππ例8若x,y∈[-,],a∈R,且x,y44为突破口3322满足方程:x+sinx-2a=0和4y+sinycosy例7实数x,y满足4x-5xy+4y=5,22+a=0,则cos(x+2y)=.记S=x+y,求Smax和Smin.解:观察题设条件之间的相互关系,很容易解析:初看此题一时无从着手,仔细研究已22知条件,却不难发现两个等式条件有一些相似22x+y2想到由条件S=x+y得1=,代入4xS的地方,对第二个等式条件进行变形可得:223-5xy+4y=5可得关于x,y齐次式
2、4x-5xy(2y)+sin2y+2a=0,对照两等式和所待求的222x+y结论对照分析,很容易找到x和2y的关系.于是+4y=5·,从而把两个已知条件联系S3构造函数f(x)=x+sinx,则两个条件分别变起来构作了一个齐次方程作为新的题设条件,形为:f(x)=2a和f(2y)=-2a,即f(x)=依据此条件作为突破口便可方便解题.-f(2y),于是把两个已知条件联系起来构造了22即(4S-5)y-5Sxy+(4S-5)x=0,一个新的条件,依据此条件作为突破口,又函数①3f(x)=x+sinx是奇函数,所以有f(x)=255ππ(1)当
3、x=0时,y=,S=;(2)当x≠044f(-2y),而当x、y∈[-4,4]时,f(x)是单时,①式可以变为:(4S-5)(y)2-5Sy+调递增的函数,所以有:x=-2y,即x+2y=0,xx因此,cos(x+2y)=1.y(4S-5)=0,这是一个关于的一元二次方河南省新密市新密中学(452370)x22程,于是可由Δ≥0得(-5S)-4(4S-5)≥101010100,解得≤S≤,所以Smax=,Smin=.133313○黄家仁例析二项展开式中系数最大项的求法求二项展开式中的系数最大项,是二项式n+1(2)若n是奇数,则中间两项[第
4、项2定理应用中的一个常见题型.本文对此类问题n+1归类解析如下,供读者参考.与第(+1)项]是展开式中系数最大的项n2一、形如(x+y)展开式中系数最大项的(且这两项系数相等).求法n例1已知(a+a)展开式中最后两项在此类问题中,展开式中的二项式系数就系数的和是10,求展开式中的系数最大的项.是该项的系数.由二项式系数的增减性可知,展解:依题意,得开式中的系数最大项就是展开式中的中间项:n-1nCn+Cn=10,即n+1=10,所以n=9.n(1)若n是偶数,则中间一项[第(+1)所以,展开式中系数最大的项是24547项]是展开式中系数最
5、大的项;T5=C9a(a)=126a,·4·数理化学习(高中版)54561项,第r+2项的系数的绝对值分别是ATr-1,Ar,6=C9a(a)=126aa.nA二、形如(x-y)展开式中系数最大项的r≥Ar-1Ar+1,并设Ar最大,则由可求出r的求法Ar≥Ar+1在此类问题中,展开式中各项的系数就是值,然后根据这项系数的正负情况确定展开式该项的二项式系数,或是该项的二项式系数的中系数最大的项.322n相反数.因此,由二项式系数的增减性可得如下例3已知f(x)=(x+3x)展开式中结论:各项的系数和比各项的二项式系数和大992,n求展开式中
6、系数最大的项.(1)当n是偶数时,若中间一项(第(+2解:展开式中各项的系数和是1)项)的系数为正,则这项是展开式中系数最nnf(1)=(1+3)=4,nn大的项;若中间一项(第(+1)项)的系数为展开式中各项的二项式系数和是2.2nn依题意得4-2=992,负(这项是展开式中系数最小的项),则这项的n2n所以(2)-2-992=0,nn前一项(第项)和后一项(第(+2)项)是nn即(2-32)(2+31)=0,22nn展开式中系数最大的项(且这两项系数相等);所以2=32,或2=-31(舍去),所以nn+1=5.(2)当n是奇数时,中间两
7、项(第项2所以展开式的通项公式为3n+1Tr25-r2r与第(+1)项)中,系数为正的项是展开r+1=C5·(x)·(3x)22rr(5+2r)=Cx3.5·3式中系数最大的项(系数为负的项是展开式中设第r+1项是系数最大的项,则有系数最小的项).rrr-1r-1C5·3≥C5·32110,例2求(x-)展开式中系数最大的rrr+1r+1xC5·3≥C5·3项.5!5!×3≥解:二项展开式的中间项是(5-r)!r!(6-r)!·(r-1)!5210-51555!T6=C10(x)·(-)=-252x,所以,x(5-r)!r!因为-252<0
8、,所以展开式中系数最大的5!≥×3(4-r)!·(r+1)!项是T5和T7,即464831T5=C10a(a)=210a,≥r6-r796467所以,所以≤r≤,T7=C10a(
