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1、2001年第12期 数学通讯7二项展开式系数的求法苏清军(山东省无棣二中,山东251913)中图分类号:O122.4-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)12-0007-01n 对于(a+b)展开式中特定项的系数,常常从数为020211202通项公式入手,学生容易掌握.而对于较复杂的展开C5C4(-2)·3+C5C4(-2)·3+C5C4(-2)·式,如(a+b)m(c+d)n、(a+b+c)n等,多有畏难03=54-120+40=-26.情绪.这里介绍三种行之有效
2、的方法,供大家学习时3 利用求组合数的方法参考.这种方法并不需要借助二项展开式,对于形式1 有效展开各异的题目都可以实施.对于次数不大的二项式,可先作适当变形,然后64例3(1996年上海高考题)在(1+x)(1-x)部分展开,便可确定系数.3的展开式中,x的系数是.253例1求(1+x)(1+2x)展开式中x的系解 利用组合知识.数.3302203展开式中含x项有x·x,x·x,x·x,x·x252解(1+x)(1+2x)=(1+2x+x)(1+10x四种情况.+40x2+80x3+⋯),3所以x的系数是所以x3的系数为80+
3、2×40+10=170.321(-1)+C12(-1)203(-C6+C6·C4·6·C4+C6·C42 利用通项公式1)3即从通项公式入手,先得到问题的解,再得出项=20-60+36-4=-8.的系数.例4(1992年全国高考题)在(x2+3x+2)554例2在(1-2x)(1+3x)展开式中,若按x的展开式中x的系数为()的升幂排列,求展开式中的第三项.(A)160.(B)240.(C)360.(D)800.2解 展开式中的第三项含x.分析:本题是三项展开式,可以通过分解因式、5二项式(1-2x)的通项公式为配方或加法结合律
4、等方法转化为二项式进行展开.mmRm+1=C5(-2x),若借用组合知识解决可省却很多麻烦.4二项式(1+3x)的通项公式为解 根据三项的特点,展开式中x项只能源于nnRn+1=C4(3x).3x·2·2·2·2,14(m=0,1,2,3,4,5;n=0,1,2,3,4.)所以x的系数为C5·3·2=240,选(B).Tm(-2x)mn(3x)n632m+1·Rn+1=C5·C4例5求(2x-3y-4z)的展开式中xyz的mnmnm+n=C5C4(-2)·3·x,系数.32令m+n=2,解 利用组合知识,xyz的系数为3322m
5、=0,m=1,m=2,C6·2·C3·(-3)·(-4)=-17280.解得或或n=2,n=1,n=0.54所以(1-2x)(1+3x)展开式中第三项的系收稿日期:2001-01-05作者简介:苏清军(1969—),男,山东无棣人,山东无棣二中一级教师.
