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1、二镇展开式中的最大系数程靓垂沪决关于二项展开式的特点,,裸本里是分做八为了爵明周题变得明显些先举一二个拯,、个性臂来叙述的其中第六个性鬓就牵涉到二,用实嫩筒翠的例子观察的方法来建立初步的,,.项展开式中的最大系数简题(代数第三姗2韶撤然后再推广到一般现在打算分做下面.,真)通过第五个性鬓的爵解我们已作出二项雨个步嵘来贯撤它.:和雨端展开式系数对称性的枯输等距项的雨.n,n+1.1若为奇数lRJ当k~或2硕的系数都相等又由于展开式的系数与粗合n一1,时q的值为最大数相关联我俩已征看出了系数艳对植起始渐2,;因而确信最大系数必定在展开式增后来渐诚,.,用数(自o至
2、7)代替讲中的k爵算的正中在这样初步部栽的基础上接着提出,::讲的对应值业把它以表格的形式列出来下面二个周题1)在什么样的情况下展开式中存在着一个最大系数户在什么样的情况下存在户人01234567着雨个最大系数2)最大系数究竟是展开式中第几项的系数?怎样迅速而合理地把它补算172135352171,讲出来户这样就顺利地过渡到新的裸题最大系数上面来了.—,,由观察可知当左~3或4时讲的植为最正确地指出展开式中最大系数的项数首,.先可以使学生更明确地倾会这段教材,`另一方大而且位置在正中于是进一步提简学生如,,,何把k与n联系起来户从表可以看出当面以后学生在实际补
3、算中有预觅地把展开式,7+17一1,~4或k~~3时讲的写到正中硕然后依照系数对称性去补足它借22n..+1:当无~此以培养学生的熟辣技巧值为最大再把这例概括便得2n一1.例如(x+a)7~x7+7ax6+21a2二`+或左时以有最大值2十35asx4+(先写到正中硕)…为什么会如此呢?我们再用一些数学的墓x7+7ax6+21a2x`:,~+35砂砂+本法lBJ来剖析它的根据联系算术分数乘法,.+35a4沪+21砂劣2+7a6x+a7我明一个自然数乘以一个假分数lRJ变大乘以其分数lHJ变小;然后把一串舒算粗合数的式`(再依对称性补足它),:子(列表时所补算的
4、)进行排队亚加以我明,,在萧解过程中首先分析这个简题的性贾_,7我明展开式的系数是用粗合数来表示的;因此(浩7~~一1求最大系数的筒题本值上也就是求最大粗合数.,的周题甜明我们耍解决这样一个周题:当n7·676_6X只讲·~——~嶙’—,12122的数值已知时k取什么样的数值能使以的数,,争用函数的观点来处理,〔因为乘以假分数故胶:的粗合数比双1的大)他为最大其次把碟视拿乙,,:作西数把其中的k砚作变数同时指出1)·76.53ú7i一62一53、一53此中k的允舒值集合是非负整数;2)根据展礴·一一XX~嵘12,k只井在。k(n的开式系数的实际意义簇,,~_,
5、~,山5一`。人,.玉`0、~.一。一二.、,`气只习ZUJI吧先到1以刀胃父,布,O几月凡。廿叨司让L劝仑汉J毛摊沁”,2、,范圆内变化J·27(总,7口)了z”_···““。·一一一一氏几4又又舜···一一4故知当一时粗合数亦为最大一4拼二,alj若为偶数当`一时截的值为最大、因为乘以假分数东故双的祖合数和取的相同号44,用同样方法先用数(自。至6)代替嗡中····一一一一4,只无:··的研·一补算璐的对应值亚把它列成表4一35一35义衅X人!0}1!23!4}516一1561`因为,乘分,故。5的`合`比“`的小了,以{16115”导……,73,,,鱼此
6、可知从个不同的元素中每次取个或由表可知当k~3时嗡的值最大而且恰.,,戈沁4个时其祖合数为最大把k与n好位置在正中联系起来的桔果是,以此为墓础再来研究它的一般情况:一n2.同样用一莲串萧算粗合数的式子来进一n个元于通项公式的系数(从素中每次:,,行剖析取无个的粗合数)中已知分子有无个因数6nn1n2,zk+1(一)(一)…(一)1喘~丁咪’1·2·3…k()1,无;因此可以把公式的右边改6·565~5分母也有个因数二二二只二二二《嗡1·2——发X—2k:12写成个分数逮乘积的形式.L_n(n一1)(n一2)(n一无+1)(乘以互故取2的粗合数比双1的大)人一一
7、…L二一二__2~1.2.乙…左6·5·4654~4nn卫二兰、n一左十1雌··~—X—`X—~L轰X一、-一iX一1X只1231233ù艺3…k,(乘以故取3的比`2的)大—(2)夸“k,把(2)式右边个分数加以榆查褚乘数的6·5·4·3一6i一52一43一43n,以···目XXXù分子自起依次诚少1个革位越来越小(最1234后可能小到1为止);甜乘数的分母自1开3,,nC盆只一始依次增加一个翠位越来越大(最后大到4.,n为奇数lHJ锗乘数的分子,为止)现在假定(乘以`分。故“4的,`比取3的小,,,,导”与或者向为奇数轰落闹为偶数锗乘册.数中必有一个等于1
8、的假分数所以(2)由此可知,63个从个
