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《泛函分析习题及参考答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、泛函分析习题及参考答案22一、在R中定义如下三种距离：x==∈(,),(,)xxyyyR，121222dxy(,)=−+−(xy)(xy)，dxy(,)max{=−−xyxy,}，11122211222dxyxyxy(,)=−+−，试证：dd≤≤2d，ddd≤≤，ddd≤≤2，311222123132322从而这三种距离诱导出的极限是等价的。~d(y,x)二、设d(x,y)为空间X上的距离，试证：d(y,x)=也是X上的距离。1+d(y,x)~~证明：显然d(x,y)≥0,并且d(x,y)=0⇔d(x,y)=0⇔x=y。~d(y,x)d(x,y)~再者
2、，d(y,x)===d(x,y)；1+d(y,x)1+d(x,y)t1最后，由=1−的单调增加性及d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)，可得1+t1+t~d(x,y)d(x,z)+d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)=≤=+1+d(x,y)1+d(x,z)+d(z,y)1+d(x,z)+d(z,y)1+d(x,z)+d(z,y)d(x,z)d(z,y)~~≤+=d(x,z)+d(z,y)。1+d(x,z)1+d(z,y)()nnp()p三、设p≥1，x=∈(,,,)ξξ""l，n=1,2,"，x=(,,,)ξξ""∈l，则n→∞n1i1
3、i1∞p⎛⎞()np()n时，dxx(,)ni=−→⎜⎟∑ξξi0的充要条件为(1)n→∞时，ξii→ξ，i=1,2,"；⎝⎠i=1∞p()np(2)∀>ε0，存在N>0，使得∑ξi<ε对任何自然数n成立。iN=+11∞p⎛⎞()np()n证明：必要性证明，由dxx(,)ni=−→⎜⎟∑ξξi0可知，ξii→ξ，i=1,2,"。⎝⎠i=1∞ppεp由x=∈(,,,)ξξ1""il可知，∀ε>0，存在N1>0，使得∑ξi<()，并且iN=+121∞()nppεnN>1时，∑ξξii−<()。i=1211p∞∞⎛⎞⎛⎞pp⎛∞⎞ppp()nn≤−⎜⎟⎜⎟(
4、)+⎜⎟1成立。iN=+1111⎜⎟⎝⎠⎝⎠iN=+⎝iN=+11⎠∞p()np对于nN=1,2,"1，存在N2>0，∑ξi<ε。取NN=max{12,N}，则iN=+21∞p()np∑ξi<ε对任何n自然数成立。iN=+1∞()nppε充分性证明，由条件可知，∀>ε0，存在K>0，使得∑ξi<()对任何自然iK=+12∞pεp数n成立，并且∑ξi<()。iK=+12Kp()n()np由ξii→ξ可知，存在N>0，使得n>N时，∑ξii−ξε<，并且i=1∞∞Kppppnnn()()()dxx(,)ni=−
5、∑∑∑ξξξii=−ξξii+−ξiiii===11K+1pKpp⎛⎞∞∞11p()nn()ppp≤−∑∑∑ξiiξξ+⎜⎟()i+()ξεi<2。ii==11⎝⎠K+i=K+11bppp四、在L[a,b](p≥1)上定义距离：dxy(,)=−(∫xtytdt()())，则在此距离诱导的a极限意义下，x(t)收敛于x(t)的充要条件为(1)x(t)依测度收敛于x(t)；(2){}x(t)在nnn[a,b]上具有等度绝对连续的积分。pp证明：必要性证明，由ρ（x,x)→0，可得∀σ>0，x(t)−x(t)dt≥x−xdtn∫n∫nEE(xn−x≥σ)p≥
6、σ⋅m(E(x−x≥σ)，n=1,2,"，令n→∞，可得m(E(x−x≥σ)→0。即x(t)nnn依测度收敛于x(t)。由x(t)的积分绝对连续性可知，对任何ε>0，存在δ>0，使得e⊂E，me<δ时，1111ppεppε(x(t)dt)<。对上述ε>0，存在N>0，使得n>N时，（x(t)−x(t)dt）<，∫∫n22eE11111pppppppppp从而x(t)dt)≤(x−xdt)+(xdt)≤(x−xdt)+(xdt)<ε，∫n∫n∫∫n∫eeeEe1pp即x(t)dt)<ε，对n=N,N+1,"，成立。∫nep对于n=1,2,",N，易知存在
7、δ>0，使e⊂E，me<δ时，（x(t)dt<ε）。22∫ne1pp取δ=min(δ,δ)，则e⊂E，me<δ时，x(t)dt)<ε，对每个自然数n成立。12∫ne即{}x(t)在[a,b]上具有等度绝对连续的积分。n充分性证明，对任何ε>0，令E(ε)=E(x−x≥ε)，则mE(ε)→0。由此可知，nnn对任何δ>0，存在N>0，使得n>N时，mE(ε)<δ。nppp令F(ε)=E(x−x<ε)，则ρ(x,x)=x−xdt+x−xdt。此时，nnn∫∫nnEFnnp11p⎡pppp⎤pp∫∫xn−xdt≤⎢(∫xndt)+(xdt)⎥，∫xn−xdt
8、<(b−a)⋅ε。Enn⎢⎣EnE⎥⎦Fn由积分的等度绝对连续性可知，对任何ε>0，存在δ>0
