资源描述：
《一维谐振子能量本征值在各种表象中的求解.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、鞍山师范学院学报JournalofAnshanTeachersCollege2000-09,2(3):51-54一维谐振子能量本征值在各种表象中的求解刘晓丽赵岩戴宝印(鞍山师范学院物理系,辽宁鞍山114005)摘要:给出了计算一维谐振子能量本征值的方法,它们分别是在坐标表象中求解;在动量表象中求解;在能量表象中求解和直接矢量求解.关键词:谐振子;本征值;表象中图分类号:O413.1文献标识码:A文章篇号:1008-2441(2000)03-0051-040引言求解一维谐振子能量本征值是量子力学中比较经典的问题,通过求解定态薛定谔方程HΧ=EΧ(1)可得到问题
2、的解.一般文献中都以在坐标表象中求解为主要方法,实际上在各种表象下均可求解,从求解过程中可以看到,每种解法都有其特点和对问题理解上的差异,因此在不同表象下求解一维谐振子能量是十分必要的.一维谐振子的哈氏量可表为1mω2[1]22H=p+x(2)2m2此时方程(1)的本征值即为一维谐振子的能量,下面在不同表象中求解本征值E.1在坐标表象中求解在x表象中,薛定谔方程可表为222hdmω2-2Χ(x)+xΧ(x)=EΧ(x)(3)2mdx2边条件为x※∞,Χ(x)※0(4)令Eξ=αx,α=mω/h,λ=(5)1hω2收稿日期:1999-11-30作者简介:刘晓丽
3、(1962-),女,辽宁鞍山人,鞍山师范学院物理系讲师。52鞍山师范学院学报第2卷则方程(3)变为2d22Χ+(λ-ξ)Χ=0(6)dξ当ξ※±∞时,Χ※0,因此(6)式的一般解为12-ξΧ=e2u(ξ)(7)将(7)式代入(6)式得2dudu2-2ξ+(λ-1)u=0(8)dξdξ这是一个厄密方程,只有当λ-1=2n,n=0,1,2…(9)时,此方程有一个满足边条件的多项式解[2],将(9)式代入(5)式得1En=(n+)hω,n=0,1,2…(10)22在动量表象中求解[3]h在p表象中,x=-,所以薛定谔方程可表为ip22212mωhdpΧ(p)-2Χ
4、(p)=EΧ(p)(11)2m2dp若令p=mωy,则(11)变为222hdmω2-2Χ(y)+yΧ(y)=EΧ(y)(12)2mdy2此方程与方程(3)形式完全相同,因此可直接得到1En=(n+)hω,n=0,1,2…(13)23在能量表象中求解因为f(x)if(p)i=-f(x),p,=-[x,f(p)](14)xhxh所以有H2iH1i=mωx=-(Hp-pH),=p=(Hx-xH)(15)xhpmh取上式H表象的ij矩阵元,有2ii1mωxij=-(Ei-Ej)pij,(Ei-Ej)xij=pij(16)hhm综合(16)式中两方程可得第3期刘晓丽等
5、:一维谐振子能量本征值在各种表象中的求解53222hωxij=(Ei-Ej)xij(17)因此xij和pij有非零解的条件是22(Ei-Ej)=(hω),Ei-Ej=hω(18)则有Ei=(i+ε)hω,i=0,±1,±2,…0≤ε≤1,(19)由(18)式知,不为零的矩阵元是pij=pij(δj,i+1+δj,i-1),xij=xij(δj,i+1+δj,i-1)(20)再考虑到Hij=Eiδij,可得22pi,i+1+pi-1,i=(i+ε)mhω(21)此式的解为pi,i+1=ci+α,且α=ε+1/2,i≥0(22)由p-1,0=c-1+α得α=1,
6、所以ε=1/2,则1Ei=(i+)hω,i=0,1,2,…(23)24直接矢量求解采用新的算符1+1a=(p-imωx),a=(p+imωx)(24)2mhω2mhω以代替p和x,容易证明[a+a+]=1[4],则ω+++11H=(aa+aa)=hω(aa+)=(N+)hω(25)222式中+N=aa(26)可以看到,为了求H的本征矢量,只要求出N的本征矢量即可.设N的归一化本征矢量之一是
7、n>,本征值为n,则N
8、n>=n
9、n>(27)由于N是厄米算符,故其本征值n必为实数,又因为只有a
10、n>=0时,才有n=0,所以n≥0,还可以证明当m是正整数时mm[N,
11、a]=-a,[N,a]=-ma(28)+++m+m[N,a]=a,[N,a]=ma(29)因此mmNa
12、n>=(n-1)a
13、n>,Na
14、n>=(n-m)a
15、n>(30)+++m+mNa
16、n>=(n+1)a
17、n>,Na
18、n>=(n+m)a
19、n>(31)54鞍山师范学院学报第2卷+所以若
20、n>是N的本征态失,a
21、n>和a
22、n>也是N的本征态失,而且+a
23、n>～
24、n-1>,a
25、n>～
26、n+1>,(32)若n是N的本征值,则n-1,n-2,…也都是N的本征值.由于N的本征值都是非负数,因此这个数列必须截止,即有一个正整数m存在,使n=m,Na
27、n>=0,所以n必为非
28、负整数,所以1En=(n+)hω,n=0,1,2,…
