一维谐振子的本征值问题

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1、一维谐振子的本征值问题摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出的本征态即谐振子的相干态，并由降算符与升算符、光子数与相位的最小不确定关系得出相干态和压缩态。关键词：量

2、子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式.一维谐振子的能力本征

3、值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法.自1963年，Glauber等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域。一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效

4、应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出的本征态即谐振子的相干态，并由降算符与升算符、光子数与相位的最小不确定关系得出相干态和压缩态。1.矩阵力学解法取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成14　　　　　　（１）k为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为，令　　　　　　（２）它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton量可表为　　图１．一维谐振子势(3)在能量表象中，由于(4a)(4b)因此

5、有(5a)(5b)取表象的矩阵元，由于(6)故有(7a)(7b)由于矩阵的对角性，(7a)，(7b)两式中的矩阵乘法的取和消失了。且只是和两个未知量的方程，与x，p的其它矩阵元无关，这是谐振子特性的体现，从而使得求解矩阵元大为简化。得(8)则有，(9)不为零的矩阵元为14(10a)(10b)由(6)式得(11)此式的解为(12)由(10b)式可知，为满足此条件应有即得(13)则，=1，2…(14)2.Dirac算符算子代数解法2.1求解一维谐振子能量本征值由(3)式，采用自然单位，则(15)因此H具有相空中的旋转不变性，令(16a)

6、(16b)利用，容易得(17)对H进行因式分解(18)14式中(19)则[，]=0(20)因为(21)(22)所以为正定Hermite算符，亦为正定Hermite算符设(23)n为正数，表示的一个本征态，由(17)(18)式得(24a)(24b)(25a)(25b)因此可知，若为的本征态，且本征值为n，则与也是的本征态，且本征值为n-1，n+1。由(25a)式可知是的本征态，从的某个本征态出发，逐次用降算符运算可得的一系列本征态，，，，…(26)相应的本征值为n，n-1，n-2，…(27)因为为正定Hermite算符，它的所有本征值

7、必须。设的最小本征值为，本征态为。故它的必须满足14(28)由此可得(29)即是的本征值，对应本征值为=0，因此可记为。由(25b)式可知，也是的本征态，从的最小本征值=0对应的本征态出发，逐次运用算符可得的全部本征态，，，…(30)相应本征值为0，1，2，…(31)可以得的归一化本征态(32)它是的本征态(33)，n=0，1，2…(34)添上能量单位，，n=0，1，2….(35)2.2求解波函数由(28)式=0即得，，(36)解得(37)由归一化条件得，14(38)由(32)式得，即=(39)令，则(36)式可写成:=(40)=(

8、41)(42)易得=，即n的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性。2.3Hermite多项式的递推关系(43)(44)因此(45)(46)由(45)(46)两式得(47)即14=得(48)由(43)得==(49)而(50)由(49)(50)