资源描述：
《17 S-L 本征值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、MathematicalMethodsforPhysics第三篇特殊函数Specialfunctions北京航空航天大学物理科学与核能工程学院第三篇特殊函数Specialfunctions第十六章第十六章特殊函数的一般理论特殊函数的一般理论施图姆施图姆——刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题ProblemsofSturm-Liuvilleequations物理学院邓胜华06:52:47第16章S-L本征值问题分离变量法总结分离变量法总结前面我们已经处理了几种典型的偏微分方程定解问题，其中介绍了求解二阶线性偏微分方程定解问题的一种有效方法——分离
2、变量法。分离变量法（又称为本征函数展开法）是求解线性偏微分方程定解问题最常用的重要方法。基本思想：把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题。先求解相应的常微分方程的本征值问题。得到满足一定条件（如边界条件）的特解族，然后再用线性组合的办法组合成级数或含参数的积分，最后得到适合定解条件的特解。21/12/2010DENGS.H3/16物理学院邓胜华06:52:47第16章S-L本征值问题分离变量法中心内容用分离变量法求解各种有界问题；分离变量法基本要求¢着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问
3、题---本征值问题¢掌握求解非齐次方程的本征函数展开法¢掌握将非齐次边界条件齐次化的方法应该掌握在球、柱坐标系中对Δu=0和Δuu+=λ0分离变量会得到哪些特殊函数微分方程。21/12/2010DENGS.H4/16物理学院邓胜华06:52:47第16章S-L本征值问题注意：求解本征值问题时，要求所对应的定解条件必须是齐次的(非齐次者，需先齐次化)。因而此解法对于定解问题中微分方程的具体形式有一定的限制，同时对所讨论问题的空间区域形状也有明显限制。还涉及到正交曲面坐标系的选取等。分离变量法理论依据：Sturm–Liouville型方程的本征
4、值问题。21/12/2010DENGS.H5/16物理学院邓胜华06:52:47第16章S-L本征值问题施图姆施图姆——刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自然边界条件（或自然周期条件）。满足这些边界条件的非零解使得方程的参数只能取某些特定值，这些特定值叫做本征值(或特征值、或固有值)，相应的非零解叫做本征函数（特征函数、固有函数)。求本征值和本征函数的问题叫做本征值问题。21/12/2010DENGS.H6/16物理学院邓
5、胜华06:52:47第16章S-L本征值问题常见本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F.Sturm)－刘维尔(J.Liouville)本征值问题，本节讨论具有普遍意义的施图姆－刘维尔本征值问题．通常把具有如下形式二阶常微分方程ddy[()]()kx−qxy+=≤λρ()0(xyaxb≤)ddxx叫作施图姆－刘维尔型方程（S-L方程）。21/12/2010DENGS.H7/16物理学院邓胜华06:52:47第16章S-L本征值问题研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般的二阶常微分方程y′′+a(x)y′+b(x)y+λc(x)y=0∫a
6、xx()d通常乘以适当的函数e，就可化成S-L方程dd∫∫∫axx()dyaxx()daxx()d[e]+[bxe()][y+=λcxe()]y0ddxx施图姆－刘维尔型方程附加以齐次的第一类、第二类或第三类边界条件，或自然边界条件(自然周期条件)，就构成施图姆－刘维尔本征值问题。21/12/2010DENGS.H8/16物理学院邓胜华06:52:47第16章S-L本征值问题讨论2(1)ab=−1,=+1;k(x)=1−x,q(x)=,0ρ(x)=1或ab==0,π;k()sin,θ=θ()0,()sinqθ=ρθ=θ再加上自然边界条件：y
7、x(1=±)有界，就构成勒让德方程本征值问题：dd⎡⎤2y⎢⎥(1−xy)+=λ0,y(1)±<∞或ddxx⎣⎦⎧Θdd⎛⎞⎪⎜⎟sinθλ+sinθΘ=0⎨ddθθ⎝⎠,⎪⎩yy(0θθ=<),(∞=<π)∞21/12/2010DENGS.H9/16物理学院邓胜华06:52:47第16章S-L本征值问题22m(2)a=−,1b=+1kx()1=−=xqx,(),()1ρx=21−x或ab==0,π2mk()sin,θ=θq()θ=,ρ(θ)=sinθsinθ再加上自然边界条件：y(1)±有界.即构成连带勒让德方程本征值问题2⎧dd⎡⎤2y
8、m⎪(1−xy)−+λy=0,⎢⎥2⎨ddxx⎣⎦1−x⎪⎩y(1)±有限.21/12/2010DENGS.H10/16物理学院邓胜华06:52:47第16章S-L本征值问题2m
