习题14s-l本征值问题

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1、2dydy254．将下列方程化为S-L型方程的标准形式：（1）xx+20++=()λy；2dxdx22dydydydy（2）++cotxyλ=0；（3）xx()10−+−()abx−=λy；22dxdxdxdx2dydy（4）xx+−()10+=λy。2dxdx22dydy（1）方程两边同乘x得：xx+20++=x()xλy，写成：2dxdxdd⎛⎞22y⎜⎟xx++=()λxy0。dx⎝⎠dx2dydy（2）两边同乘sinx得：sinxx+cos+=λysinx0，写成：2dxdxdd⎛⎞y⎜⎟sinxy+=λsinx0。dx⎝⎠dxa−1xd

2、aa21yxaba−1(−x)dyx−x（3）两边同乘得：+−=λy0，ab−+1ab−−2ab+−11ab+()1−x()111−−−xxxdx()dx()dxd⎡⎤aayx−1写成：⎢⎥−=λy0。ab−−ab+1dx⎢⎥⎣⎦()11−−xxdx()2−x−−xxdydy−x（4）两边同乘e得：xe+−()10xe+λey=，写成：2dxdxdd⎛⎞−−xxy⎜⎟xe+=λey0。dx⎝⎠dx⎧dd⎡⎤y⎪⎢⎥px()+⎡⎤⎣⎦λρ()()xqxy−=0255．设有本征值问题⎨dx⎣⎦dx，其中px()，ρ()x，qx()⎩⎪ya′′()==

3、0,yb()0在axb≤≤上均为连续实函数，且pxp()≥>0，ρρ(x)≥>0。试证明本征函数的正00交性。设本征值λ对应本征函数y，本征值λ对应本征函数y（λ≠λ），即112212d⎛⎞dy1λρy=−⎜⎟pq+y，（a）111dx⎝⎠dxd⎛⎞dy2λρy=−⎜⎟pq+y。（b）222dx⎝⎠dxdd⎛⎞⎛⎞dy21dy（a）×−y（b）×y得()λλρ−=yyy⎜⎟⎜⎟p−yp，21121212dx⎝⎠⎝⎠dxdxdxbbbdydy21两边积分得()λλρ−=yydxpy−py=012∫1212adxdxaab由于λ≠λ，所以ρyydx=

4、0，即y,y正交。12∫1212a⎧dd⎡⎤y⎪⎢⎥px()+⎡⎤⎣⎦λρ()()xqxy−=0256．假设S-L方程的本征值问题⎨dx⎣⎦dx中，⎪()()ay′′−=+=by0,cydy0⎩xx==0lpxp()≥>00，ρρ(x)≥>00，qx()≥0，a与b及c与d均为不同时为0的非负常数，证明本征值≥0。22dd⎛⎞y方程两边同乘y得λρy=−ypq⎜⎟+y，两边积分得dx⎝⎠dx2ll2⎛⎞dyl2λρ∫∫00ydx=−py⎣⎦⎡⎤()()()()00y′′ylyl++p⎜⎟dx∫0qydx⎝⎠dxbb2若a≠0，则yy′()00=(

5、)，yy()()00′=y()00≥，aaaa2若b≠0，则yy()00=′()，yy()()00′′=y()00≥；bbdd2若c≠0，则yl′()=−yl()，−=≥ylyl()()′yl()0，cccc2若d≠0，则yl()=yl′()，−=≥ylyl()()′′yl()0；dd所以λ≥0。⎧1dd⎛⎞Rλ⎪⎜⎟rR+=02257．求解本征值问题：⎨rdr⎝⎠drr，其中ba>>0。⎪⎩Ra()==0,Rb()02tdddd⎛⎞RdR令re=，则有r=。方程可写为rr⎜⎟+λR=0，即+=λR0。2drdtdr⎝⎠drdt由上题结论可知λ≥

6、0，λ=0时，方程通解为R=ABtABr+=+ln，由边界条件可得R=0，所以只有λ>0。通解为R=+=AtsinλλλBtcosAsin(lnr)+Bcos(λlnr)，由边界条件得⎧⎪Aasin()λλln+=Bacos()ln0⎨，⎪Absin()λλln+=Bbcos()ln0⎩sin()λλlnaacos()ln所以=sin⎡⎤λ()lnba−=ln0，⎣⎦sin()λλlnbbcos()ln2⎛⎞nπ⎛⎞lnra−ln则本征值λ=⎜⎟，本征函数R()rn=sin⎜⎟π（n=1,2,?）。nn⎝⎠lnba−ln⎝⎠lnba−ln⎧dd⎡

7、⎤2y⎪⎢⎥()10−xy+=λ258．证明下列奇异的本征值问题是自伴的：（1）⎨dx⎣⎦dx；⎪⎩y()±1有界⎧1dd⎛⎞y⎪⎜⎟xy+λ=0（2）⎨xdx⎝⎠dx。⎩⎪yy()01有界,()=0dd⎡⎤2（1）记Lx=−⎢⎥()1−，则dx⎣⎦dxdd⎡⎤22dy12⎡⎤dyyLy1221−=yLyy2⎢⎥()11−x−y1⎢⎥()−xdx⎣⎦dxdx⎣⎦dxdx()11−−22dydy22dx()dydy112222=+yx22()11−y22−−yx11()−ydxdxdxdxdxdx⎛⎞dy22dydx(1−2)⎛⎞dydy21212

8、=−()1xy⎜⎟−y+⎜⎟y−y212221⎝⎠dxdxdx⎝⎠dxdxd⎡⎤2⎛⎞dy12dy=−⎢⎥()1xy⎜⎟−y，21dx⎣