立体与平面解析解析几何(研究生整理).pdf

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1、立体与平面解析解析几何1.常见多面体：棱柱，棱锥，棱台常见的旋转体：圆柱，圆锥，圆台，球2.空间几何体的表面积与体积几何体侧面积体积ImageImage球3.点到面的位置关系与集合表示方法平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α直线一般用小写英语字母a,b,l或者大写字母直线上的两个点AB表示。点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，记作点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作Al；直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作l

2、α。4.四个公理公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。符号语言公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行5.直线和平面之间的位置关系★线面平行：⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该

3、直线平行★面面平行：⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行★线面垂直：⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。★面面垂直：⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直

4、⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。6.思考途径证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为二直线同与第三条直线平行；（2）转化为线面平行；证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行.证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为线面平行；（2）转化为线面垂直.证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为线面垂直；（2）转化为线与另一线的射影垂直；证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（2）转化为该直线与平面的一

5、条垂线平行；（3）转化为该直线垂直于另一个平行平面；证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；BB1ADCD1C1A1（2）转化为线面垂直.练习：1.点到面的距离：2.如图，在棱长为a正方体中，（1）A到面BCC1B1的距离为______（2）A到平面BDD1B1的距离为____________（3）AD到平面BCC1B1的距离为___________（4）AA1到平面BDD1B1的距离为__________3.线面平行的判定：线面垂直：4.已知直线（）A．异面B．相交C．平行

6、D．不确定5.过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（）A．只有一个B．至多有两个C．不一定有D．有无数个6.设E、F、G分别是四面体的棱BC、CD、DA的中点，则此四面体中与过E、F、G的截面平行的棱（）A．0条B．1条C．2条D．3条7.设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。如图：（1）证明：PQ∥平面AA1B1B；（2）求线段PQ的长。线面垂直8.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD。若在BC上有且仅有一个点Q，满足PQ⊥

7、QD，则a的值为.9.如图，已知求证a∥lBADC10.已知四面体ABCD所有的棱长相等，求证：AB⊥CD11.如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。12.在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。求证：A1O⊥平面GBD13.如图，已知AC、AB分别是平面a的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，a⊂a，a⊥BC。求证：a⊥ABaaCBA14.在正

8、方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1DBB1ADCD1C1A1面面垂直15.S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.16.如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点。求证：（1）直线EFǁ平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD17.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD。证明:AB⊥平面VAD18.