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《平面解析几何初步典型例题整理后.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程经典例题导讲 ［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,∴直线方程为y=x综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x.［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-)2+(y-3)2=,方程②化为(x+)2+(y-3)2=-,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为:(x-)2
2、+(y-3)2=(x≥0)［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，(1)当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.(2)当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆.［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x
3、-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)， 于是L′过A(-3，-3). 设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1 因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1 即 整理得12k2-25k+12＝0 解得k＝或k＝ L′的方程为y+3＝(x+3);或y+3＝(
4、x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L和L′关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.［例5］求过直线和圆的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是：即：（1）因为圆过原点，所以，即故所求圆的方程为：.（1）将圆系方程化为标准式，有：当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.故满足条件的圆的方程是.［例6］（06年辽宁理科）已知点A()，B()（≠0）是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足｜｜＝｜｜.设圆C的方程为（1
5、）证明线段AB是圆C的直径；（2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.解：（1）证明 ∵｜｜＝｜｜，∴（）2＝（）2， 整理得：＝0 ∴＋＝0设M（）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则＝0即 ＋＝0整理得：故线段AB是圆C的直径.（2）设圆C的圆心为C（），则∵，∴又∵＋＝0 ，＝－∴－∵≠0，∴≠0∴＝－4 ＝所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线的距离为ｄ，则＝当＝时，ｄ有最小值，由题设得＝∴＝2.圆锥曲线经典例题导讲 [例1]设双曲线的渐近线为：，求其离心率.解：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在
6、x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，，故本题应有两解，即：或.［例2］设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值.剖析：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束.当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令，则，故其最大值为，最小值为.［例3］已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程.解法一：设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知整理得解法二：依题意，设双曲线的中心为,则解得,所以故所求双曲线方程为［例4］设椭圆的中心是坐标原点，长轴
7、在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程.解：若，则当时，（从而）有最大值.于是从而解得.所以必有，此时当时，（从而）有最大值，所以，解得于是所求椭圆的方程为［例5］从椭圆,(>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，AB∥OM设Q是椭圆上任意一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若⊿F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程解：本题可用待定系数法求解∵b=c,=c，可设椭圆方程为∵PQ⊥AB,∴kPQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)，
8、代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得,又点F1到PQ的距离d=c∴,由故所求椭圆方程为［例6］已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长解：a=3,b=1,c=2;则F（-2，0）由题意知：与联立消去y得：设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，，又因为A
