资源描述：
《现代控制理论 7-2 变分法求泛函极值问题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章动态系统的最优控制方法§1最优控制的一般概念§2最优控制中的变分法§3极小值原理及其应用§4线性二次型问题的最优控制本节主要内容：ß泛函与变分ß欧拉方程、横截条件ß应用变分法求解最优控制问题1返回一、泛函与变分一、泛函与变分自变量是自变量是变数！变数！函数：对于变量t的某一变域中的每一个值，x都有一个值与之相对应，那么变量x称为变量t的函数，t称为函数的自变量。记为：x=x(t)自变量的微分：dt=t−t0（增量足够小时）函数的微分：dx函数自变量是自变量是函数！函数！函数函数的函数！的函数！比较泛函：对于某一类函数x(·)中的每一个函
2、数x(t)，变量J都有一个值与之相对应，那么变量J称为依赖于函数x(t)的泛函，x(t)称为泛函的宗量。记为：n[()]J[]x()t：R→RJ=Jxt标称函数()()n宗量的变分：δx=xt−x0t∀x(t),x0(t)∈R泛函的变分：δJ2下页返回函数泛函自变量宗量自变量的微分宗量的变分函数的微分泛函的变分泛函举例泛函举例()12xt=t⇒J[]x()t=tt2J[]x()t=∫x()tdt0x(t)=cost⇒J[x(t)]=sint[()]12一个变速运动物体的动能：Jvt=E=mv()t2最优控制问题的数学模型中，tftfJ=∫L[
3、]x()()t,ut,tdtJ=∫dt=tf−t0t0t0tfJ=ϕ[x(tf),tf]J=ϕ[x(tf),tf]+∫L[]x()()t,ut,tdtt03线性泛函线性泛函如果泛函J[x(t)]：Rn→R满足下列两个条件：[]()()[()][()]n(1)Jxt+xt=Jxt+Jxt∀x(t)(),xt∈R121212()n(2)J[]αx()t=αJ[]x(t)∀xt∈R,α∈R则称J[x(t)]为线性泛函。范数泛函的连续性泛函的连续性返回设J[x(t)]：Rn→R是线性赋范空间Rn中子集D到实数集R上的泛函，D为泛函的定义域。若对于收敛
4、于x的x，其中x、x∊D，均有0n0nlimJ[x(t)]=J[x(t)]n0n→∞则称泛函J[x(t)]在x处连续。0若J[x(t)]在子集D上的每一点都连续，则称泛函J[x(t)]在D中连续。4补充……线性赋范空间线性赋范空间
5、
6、·
7、
8、n[)R→R=0,+∞+设
9、
10、·
11、
12、是定义在Rn上的非负实函数，如果满足：(1)
13、
14、x
15、
16、≥0，且
17、
18、x
19、
20、=0↔x=0，其中x∈Rn；非负性(2)
21、
22、k·x
23、
24、=
25、
26、k
27、
28、·
29、
30、x
31、
32、，其中k∈R；齐次性(3)
33、
34、x+y
35、
36、≤
37、
38、x
39、
40、+
41、
42、y
43、
44、，其中x、y∈Rn；三角不等式则称
45、
46、·
47、
48、为Rn上的向量
49、范数；定义了范数的线性空间称为线性赋范空间。返回范数泛函的连续性泛函的连续性定义1由于泛函J[x(t)]是定义在线性赋范空间上的，对于线性泛函J[x(t)]，若()nx−x→0n→∞,∀x,x∈RnnlimJ[x(t)]=J[x(t)]必有n→∞n则线性泛函J[x(t)]是连续的，称为线性连续泛函。5泛函的变分泛函的变分回忆……ΔttΔtΔt22tΔt2tx=t函数x=tt+Δt()()22tΔt函数的增量Δxt=t+Δt－t22=2tΔt+ΔtΔt→0⇒Δt→0Δt的线性关于Δt的连续函数高阶无穷小函数x在点t相应于△t的微分dx=2tΔt
50、泛函的变分泛函的变分回忆……返回函数x=x(t)t+Δt⇒x(t+Δt)函数的增量Δx(t)＝x(t+Δt)－x(t)Δt→0⇒r()Δt→0＝AΔt+r(Δt)Δt的线性关于Δt的连续函数高阶无穷小函数增量的函数的微分dx=AΔt线性主部6泛函的变分泛函的变分前页泛函J=J[x(t)]x(t)+δx⇒J[x+δx]泛函的增量ΔJ[x]＝J[x+δx－]J[x][]＝L[x,δx]+r[x,δx]返回δx→0⇒rx,δx→0δx的线性关于δx的连续函数高阶无穷小泛函增量的泛函J[x(t)]的变分δJ=L[x,δx]线性主部1[]()∫2()例
51、如：泛函Jxt=xtdt0前页1[]()∫[]()2Jxt+δx=xt+δxdt0泛函的增量ΔJ[x(t)]=J[x(t)+δx]−J[x(t)]1212=∫[]x()t+δxdt−∫x()tdt00112=∫2x()tδxdt+∫()δxdt001泛函的变分δJ=∫2x()tδxdt07泛函变分的求法定理10-1定理10-1设J[x(t)]：Rn→R是线性赋范空间Rn上的连续泛函，若在x=x处J[x(t)]可微，其中x、x00∊Rn，则泛函J[x(t)]的变分为：∂δJ[]x,δx=J[]x+εδx
52、0≤ε≤100ε=0∂ε∂定理10-1定
53、理10-1δJ[]x0,δx=J[]x0+εδx
54、ε=00≤ε≤1∂ε证明：泛函的增量ΔJ[]x0＝J[x0+δx－]J[x0]关于εδx的εδx的线性＝L[x,δ
