泛函和泛函的极值

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1、泛函和泛函的极值泛函是指某一个量,它的值依赖于其它一个或者几个函数。变分法的基本问题是求解泛函的极值。作为变分法的简单例题。考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中,求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。设P1(x1,y1)和P2(x2,y2)为平面上给定的两点,y(x)为连接两点的任意曲线。于是,这一曲线的长度为   连接P1,P2两点的曲线有无数条,每一条曲线都有一个L值与其对应。满足边界条件的y(x)称为容许函数,问题是要从这些曲线,容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。根据上式,L[y]依赖于y(x

2、),而y(x)是x的函数,因此称y(x)为自变函数;L[y]是倚赖于自变函数的函数,称为泛函。求解最短程线问题,即在满足边界条件在x=x1时,y(x)=y1  y'(x1)=y'1在x=x2时,y(x)=y2  y'(x1)=y'1的函数y(x)中,求使得泛函L[y]为极值的特定函数。因此y(x)称为容许函数。   上述问题应用变分法可以概括为求解泛函 在边界条件y(x1)=y1, y(x2)=y2的极小值问题。假设函数y(x)是使得泛函L[y]为最小的特定函数(真实的)。变分法有兴趣研究的是邻近于y(x)的任意容

3、许函数引起泛函L[]的改变。设其中e为小参数,而h(x)为边界值为零的任意函数。当x固定时,容许函数与y(x)的差dy称为泛函自变函数的变分,即类似地,容许函数的斜率与y(x)斜率的差dy',称为泛函自变函数斜率的变分,即应该注意dy与函数y(x)的微分dy之间的差别,dy是自变量x的改变量dx引起的y(x)的无穷小增量。而变分dy是y(x)的任意一个微小的改变量。设泛函增量按泰勒级数展开,则设泛函的增量由泛函的变分表示,有分别定义为泛函的一阶,二阶或k阶变分,分别为e的一次,二次或者k次齐次式。   根据假设,y

4、(x)是使得泛函J[y]为最小的特定函数。从而泛函增量DJ大于零。注意到当参数e减小时,函数趋近于y(x),泛函增量DJ趋近于零。   首先讨论泛函J[y]为极值的条件,考虑泛函增量各项相对量阶的大小。由于一阶变分dy与小参数e成正比,而二阶变分d2y与小参数e2成正比,一般的讲,而k阶变分dky与小参数ek成正比。因此,当e充分小时,二阶以上各项变分与一阶变分dJ比较,可以忽略不计。所以,泛函增量DJ趋近于零的条件为DJ=0   在泛函极值条件确定后,如果分析泛函的极值是最小值还是最大值,需要考虑泛函的二阶变分d

5、2J。在泛函极值条件确定后,如果分析泛函的极值是最小值还是最大值,需要考虑泛函的二阶变分。因为满足极值条件时   由于二阶变分d2J与小参数e成正比,而k阶变分dkJ与小参数ek成正比。因此,当e充分小时,三阶以上变分与二阶变分d2J比较,可以忽略不计。因此,如果d2J≥0,则DJ>0,泛函J[y]为极小值的;反之,如果d2J≤0,则DJ<0,泛函J[y]为极大值的。   因此可以得出结论,泛函J具有极值的条件是其一阶变分dJ=0,如果二阶变分d2J是正定的,则此极值是最小值;如果二阶变分d2J是负定的,则此极值是

6、最大值。   上述条件为泛函极值的充分条件。以下讨论泛函J[y]极值的必要条件。   对于泛函J[y]的一阶变分           由于变分dy和dy'不是独立无关的,因此上式第二项积分可以写作回代则回代,则   由于函数y(x)在P1,P2两点的值为已知,dy=在这两点不可能有变化,即在x=x1和x=x2时,dy=0,所以   由于dy在区间(x1,x2)是x的任意函数,所以上式成立的必要条件为积分函数在区间(x1,x2)内为零。即y(x)能使得泛函为最大或者最小的必要条件是   上式称为欧拉(Euler)方程

7、。求解此方程并且利用相应的边界条件,就可以确定y(x)。欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件,并不是充分条件。如果要确定泛函J为极大值或者极小值,还需要判断其二阶变分d2J大于还是小于零。例题III-1已知泛函满足边界条件,试求泛函在什么曲线上取极值。解: 欧拉方程为                   通解                            根据边界条件,可得:               C=0,D=1 所以                              即泛函在正弦函数曲线上达

8、到极值。

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