泛函和泛函的极值

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1、泛函和泛函的极值泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。变分法的基本问题是求解泛函的极值。作为变分法的简单例题。考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。于是，这一曲线的长度为   连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。根据上式，L[y]依赖于y（x

2、），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L[y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x1时，y（x）=y1  y'（x1）=y'1在x=x2时，y（x）=y2  y'（x1）=y'1的函数y（x）中，求使得泛函L[y]为极值的特定函数。因此y（x）称为容许函数。   上述问题应用变分法可以概括为求解泛函 在边界条件y（x1）=y1, y（x2）=y2的极小值问题。假设函数y（x）是使得泛函L[y]为最小的特定函数（真实的）。变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容

3、许函数引起泛函L[]的改变。设其中e为小参数，而h(x)为边界值为零的任意函数。当x固定时，容许函数与y（x）的差dy称为泛函自变函数的变分，即类似地，容许函数的斜率与y（x）斜率的差dy',称为泛函自变函数斜率的变分，即应该注意dy与函数y（x）的微分dy之间的差别，dy是自变量x的改变量dx引起的y（x）的无穷小增量。而变分dy是y（x）的任意一个微小的改变量。设泛函增量按泰勒级数展开，则设泛函的增量由泛函的变分表示，有分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为e的一次，二次或者k次齐次式。   根据假设，y

4、（x）是使得泛函J[y]为最小的特定函数。从而泛函增量DJ大于零。注意到当参数e减小时，函数趋近于y（x），泛函增量DJ趋近于零。   首先讨论泛函J[y]为极值的条件，考虑泛函增量各项相对量阶的大小。由于一阶变分dy与小参数e成正比，而二阶变分d2y与小参数e2成正比，一般的讲，而k阶变分dky与小参数ek成正比。因此，当e充分小时，二阶以上各项变分与一阶变分dJ比较，可以忽略不计。所以，泛函增量DJ趋近于零的条件为DJ=0   在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分d

5、2J。在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分。因为满足极值条件时   由于二阶变分d2J与小参数e成正比，而k阶变分dkJ与小参数ek成正比。因此，当e充分小时，三阶以上变分与二阶变分d2J比较，可以忽略不计。因此，如果d2J≥0，则DJ＞0，泛函J[y]为极小值的；反之，如果d2J≤0，则DJ＜0，泛函J[y]为极大值的。   因此可以得出结论，泛函J具有极值的条件是其一阶变分dJ=0，如果二阶变分d2J是正定的，则此极值是最小值；如果二阶变分d2J是负定的，则此极值是

6、最大值。   上述条件为泛函极值的充分条件。以下讨论泛函J[y]极值的必要条件。   对于泛函J[y]的一阶变分           由于变分dy和dy'不是独立无关的，因此上式第二项积分可以写作回代则回代，则   由于函数y（x）在P1，P2两点的值为已知，dy=在这两点不可能有变化，即在x=x1和x=x2时，dy=0，所以   由于dy在区间（x1,x2）是x的任意函数,所以上式成立的必要条件为积分函数在区间（x1,x2）内为零。即y（x）能使得泛函为最大或者最小的必要条件是   上式称为欧拉(Euler)方程

7、。求解此方程并且利用相应的边界条件,就可以确定y（x）。欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件，并不是充分条件。如果要确定泛函J为极大值或者极小值，还需要判断其二阶变分d2J大于还是小于零。例题III-1已知泛函满足边界条件，试求泛函在什么曲线上取极值。解： 欧拉方程为                   通解                            根据边界条件，可得：               C=0，D=1 所以                              即泛函在正弦函数曲线上达

8、到极值。