泛函2010.11.22

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1、研究生泛函分析讲义胡建勋¢2¢目目目录录录1预预预备备备知知知识识识11.1度量空间.................................11.2有界线性算子的基本理论........................52广广广义义义函函函数数数与与与Sobolev空空空间间间92.1广义函数的概念..............................102.1.1基本空间D............................102.1.2广义函数的定义及其收敛性..........

2、.........122.2广义函数的运算..............................172.3广义函数的Fourier变换..........................222.4Sobolev空间与嵌入定理.........................262.5椭圆正则性：L2-理论¤..........................333紧紧紧算算算子子子与与与Fredholm算算算子子子理理理论论论353.1紧算子的定义及基本性质....................

3、....353.2Riesz-Schauder理论............................413.2.1几个引理.............................413.2.2紧算子的谱............................433.2.3不变子空间............................443.2.4紧算子的结构...........................463.3Fredholm算子理论........................

4、....483.3.1Fredholm二择一性质.......................483.3.2Fredholm算子...........................49ALebesgue测测测度度度与与与Lebesgue积积积分分分57A.1Lebesgue测度..............................57A.2可测函数与Lebesgue积分........................58¢ii¢目录A.3Lebesgue积分的极限定理..............

5、..........60第第第1章章章预预预备备备知知知识识识1.1度度度量量量空空空间间间定定定义义义1.1设X是一个非空集合，称X为度量空间，如果在X上定义了一个双变量的实值函数½(x;y)满足下列三个条件：(1)½(x;y)¸0;(8x;y2X)且½(x;y)=0,x=y;(2)½(x;y)=½(y;x);(8x;y2X);(3)½(x;y)·½(x;z)+½(z;y);(8x;y;z2X).称½为X上的一个度量；用(X;½)记带度量½的度量空间.通常在不会引起混淆时用X来简记度量空间(X;½).

6、注注注设fxng是度量空间X中的点列，称x02X为fxng的极限，记为limn!1xn=x0,如果limn!1½(xn;x0)=0.注注注度量空间又称距离空间.它是一种拓扑空间，其上拓扑由指定的一个度量（或距离）决定.设X为度量空间，x02X,A½X.称B(x0;r)=fx2Xj½(x;x0)

7、为A的极限点，如果x0的每个r-邻域都含有A中不同于x0的点；而称x0是A的边界点如果x0是A的极限点但不是A的内点；A的边界点的全体称为A的边界，记为@A.我们还称A¹=SA@A为A的闭包；称A为闭集，如果A¹=A.例例例1.1（Euclid空间Rn）如果对x=(x;x;¢¢¢;x),y=(y;y;¢¢¢;y)212n12nRn.令Xn21½(x;y)=((xi¡yi))2;i=1则(Rn;½)成为一个度量空间，称为Euclid空间，记为Rn.例例例1.2(连续函数空间C[a;b])区间[a;b]上的

8、连续函数全体记为C[a;b]，按度量½(x;y):=maxjx(t)¡y(t)ja·t·b形成度量空间(C[a;b];½),以后简记为C[a;b].定定定义义义1.2设A是度量空间X的子集，如果对A的任意开覆盖都有有限的子覆盖，则称A为紧集；如果A的闭包A¹是紧的，则称A是相对紧的或者致密的.¢2¢第1章预备知识定定定理理理1.1A½X是度量空间X中紧集当且仅当对A中的每个点列fxng,存在子列fxnkg使得fxnkg在A中有极限.定定定义