自动控制原理 教学课件 作者 周武能 第7章.ppt

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1、第7章非线性控制系统分析非线性系统：非线性控制系统指的是系统中至少含有一个非线性元件的系统。只有在一定工作范围内，在某些限制条件下，实际控制系统才可以近似为线性定常系统。非线性系统的动力学方程不象线性系统方程，一般情况下，我们无法得到它的解析解，因此无法彻底了解一个非线性系统的性态在线性系统分析中的一些重要的数学工具，无法适用于非线性系统。17.1引言由于不连续非线性特性不能局部地用线性函数逼近，所以又称为“硬”非线性特性：饱和非线性特性、开关非线性特性、死区非线性特性、间隙和滞后非线性特性、摩擦特性….2线性系统只有一个平衡状态，稳定性即为该平衡状态的稳定性，只取决于系统本身

2、的结构和参数，与外力作用和初始条件无关。非线性系统可能存在多个平衡状态，初始条件不同，运动的稳定性也不同。3例7-1对于一阶非线性系统,初值为近似线性系统4非线性系统的分析和设计方法通常有以下五类方法：(1)等效线性化法：通过泰勒线性化法、谐波线性化法、小参数法或统计线性化法等方法将非线性特性线性化处理后，近似当作线性系统来研究(2)相平面或相轨迹分析法：仅限于二阶系统应用的图解分析法(3)李雅普诺夫稳定性分析法(4)计算机数值计算分析方法(5)微分几何方法57.3相平面分析相平面：用图形来解二阶常微分方程，在二维平面上给出一族系统的运动轨线，使能直观地看到系统的运动形式，该二

3、维平面称为相平面。不足：只能用于可以用二阶动态系统最好逼近的系统。67.3.1相平面分析基本概念1．相图二阶时不变系统该系统的解可以用x(t)和的关系曲线来表示。以x(t)为横坐标，为纵坐标构成的坐标平面，称之为相平面。77.3.1相平面分析基本概念x(t)和的关系曲线82.奇异点相平面上的平衡点，即对于大多数线性系统，奇异点通常只有一个，而非线性系统却通常会有多个孤立的奇异点。例7-4非线性二阶系统系统存在两个奇异点7.3.1相平面分析基本概念97.3.1相平面分析基本概念107.3.1相平面分析基本概念3．构造相图基本思想：先确定相轨迹的等斜率线，绘出相轨迹线的切线方向场，

4、然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹线。当相轨线经过该等斜率线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为。等斜率线方程117.3.1相平面分析基本概念127.3.2线性系统的相平面分析1．线性一阶系统的相轨迹相轨迹方程为。132．线性二阶系统的相轨迹和为其特征方程的根。7.3.2线性系统的相平面分析解：14(1)稳定或不稳定节点如果特征值均为负，则奇异点称为稳定节点，x(t)和指数收敛于零。如果特征值均为正，该点称为不稳定节点，x(t)和由零点指数发散15(2)鞍点异号16(3)稳定或不稳定焦点为非零实部的共轭复数的实部为负的实部为正17(4)中心点为零实部187.3.3非线性

5、系统的相平面分析二阶时不变系统：令，利用泰勒公式展开，19极限环20极限环的存在定理7-1(庞加莱/指数定理)设一个二阶自治系统含有一个极限环，则N=S+1，其中N表示极限环所包围的节点、中心点和焦点的总数，S表示所包围的鞍点数。推论7-1一个极限环至少包围一个平衡点。定理7-2如果二阶自治系统的一条轨迹驻留在一个有限域内，则下面情况之一必成立：(1)轨迹趋于一个平衡点；(2)轨迹趋于一个渐近稳定极限环；(3)轨迹本身就是一个极限环。217.4李雅普诺夫理论李雅普诺夫理论包括两种方法：线性化方法与直接方法。线性化方法根据非线性系统在平衡点附近线性化系统的稳定性来判别自身局部稳定

6、性。直接化方法不限于局部运动，它通过对系统构造一个“类似能量”的纯量函数，然后考查该函数对时间的变化来判断稳定性。优点：一般性。它可以用于一切控制系统，不管它们是时变还是时不变的、有穷维的还是无穷维的局限性：通常很难对一个给定系统找到一个李雅普诺夫函数227.4.1非线性系统与平衡点定义7-1非线性系统中，如果不显含t，即如果系统方程可写作,则该系统称为自治的。否则，该系统称为非自治的。定义7-2状态称为系统的一个平衡态(或平衡点)如果一旦，则此后状态永远停留在。23例7-6考虑单摆系统，用下列非线性自治方程来描述R是摆长，M是质量，b为铰链的摩擦系数，g为重力加速度。令，24

7、得到平衡点满足条件平衡点为及257.4.2稳定的概念定义(李雅普诺夫稳定性与不稳定性)一个平衡点x=0称为稳定的，如果任给R>0，总存在r>0，使当，。如果x=0不是稳定的，则称为不稳定平衡点。定义(渐近稳定性)平衡点x=0称为渐近稳定的，如果它是稳定，并且存在r>0使当，26渐近稳定意味着平衡点0不仅是稳定的，而且从附近0的点出发的轨线当时间趋于无穷时，将收敛于0。当系统轨线从球Br内出发的轨线均收敛到原点。球Br称为平衡点的一个吸引域。一个李雅普诺夫稳定而不是渐近稳定的平衡点称为临界平衡