自动控制原理 教学课件 作者 周武能 第4章.ppt

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1、第4章控制系统的根轨迹及系统分析本章主要介绍根轨迹的基本概念、绘制根轨迹的法则和广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统性能等方面的内容。14.1引言闭环控制系统的稳定性和瞬态响应的基本特性是由闭环极点或特征方程的根所决定的。采用解析法求取系统的闭环特征方程的根通常是比较困难的。给系统分析和设计带来很大的不便。W.R.Evans提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，称为根轨迹法。利用根轨迹图可以分析已有的闭环系统的稳定性和瞬态响应特性。在线性控制系统的设计和综合时，按照系统的性能指标要求，也可以通过根轨迹法来确定可调参数和系统的开环零极点的位置。24.2根

2、轨迹的基本概念4.2.1根轨迹当系统的某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在-平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹，即根轨迹。用根轨迹来研究控制系统的方法就叫根轨迹法。下面举一个例子，用解析法分析参数K从时，特征方程之根在复平面上的变化和移动轨迹。3图示的二阶系统的开环传递函数为其中称为根轨迹增益。4闭环特征方程为特征根为我们来讨论当系统参数从零变化到无穷大时，系统特征方程根的变化轨迹，即根轨迹。5系统根轨迹图64.2.2根轨迹与系统性能的关系1．稳定性只要K>0，原系统就是稳定的。2．稳态性能系统属于型系统，因此阶跃响应时的稳态误差为0。

3、而当有单位斜坡输入时其稳态误差为。3.动态性能系统分别呈现过阻尼状态、临界阻尼状态、欠阻尼状态。74.2.3闭环零极点与开环零极点之间的关系一般的控制系统结构设开环传递函数为8系统闭环传递函数为⑴闭环零点由前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点组成。特别是对于单位反馈系统而言，开环系统的零点即为闭环系统的零点。⑵闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。不用求解闭环特征方程，而通过开环系统的零点和极点来找出闭环极点，这正是根轨迹法的优越之处。94.3根轨迹的幅值条件及相角条件设系统的开环传递函数系统的闭环特征方程应为10所以分解为幅值条件和相角条件1

4、112例4-1设某控制系统的开环传递函数为134.4根轨迹的绘制步骤1．根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点个数少于开环极点个数，则有条根轨迹终止于无穷远处。2．根轨迹的分支数，对称性和连续性对于n阶系统，根轨迹有n个起始点，因此系统的根轨迹有n个分支。根轨迹连续并且对称于实轴。143．实轴上的根轨迹实轴上的某一区段，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区段必是根轨迹上的一段。4.根轨迹的渐近线当系统有m个开环零点和n个开环极点且n>m时,渐近线与实轴的倾角和渐近线与实轴的交点坐标值分别为1516例4-2已知一个四阶系统的特征

5、方程为试大致绘制其根轨迹。17解(1)先标出开环零极点的位置,极点用“×”表示,零点用“○”表示。(2)确定系统在实轴上的根轨迹。(3)n-m=4-1=3，所以有3条渐近线。渐近线与实轴的交点和夹角如下:18结合实轴上的根轨迹,绘制系统的根轨迹如图19例4-2中系统的根轨迹图205.根轨迹的分离点两条或两条以上根轨迹分支在平面上相遇又分离的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。分离点坐标位置的求解有两种方法。方法一分离点的坐标由下面的分式方程确定21方法二分离点d的坐标由解出例4-3某控制系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。22解将系统开环零、极点标于s平面上，如

6、图所示。根据法则，系统有3条根轨迹分支，且有条根轨迹趋于无穷远处.⑴实轴上的根轨迹：[0-1]和[-2-3]。⑵渐近线：23⑶分离点：分离点坐标为画出的根轨迹:24256.根轨迹与虚轴的交点根轨迹中对系统动态特性有较大影响的是靠近虚轴和原点的那部分根轨迹。确定根轨迹与虚轴交点的方法有以下两种。方法一根轨迹与虚轴相交，表明闭环特征方程出现纯虚根，系统处于稳定边界。可应用劳斯判据先求出系统处于稳定边界的临界值，再由值求出对应的值，即为根轨迹与虚轴的交点。26方法二令，代入系统的特征方程中，分别令方程的实部和虚部为零，从中求得与虚轴的交点值和相应的值。即由推出27例4-4

7、设某单位反馈系统的开环传递函数为试大致绘制系统的根轨迹。28解根轨迹绘制如下。⑴因为开环极点有3个，无开环零点，所以有3条根轨迹且都沿渐近线趋向无穷远。⑵确定实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹区段为：(-∞-5]和[-10]。⑶渐近线的中心和与实轴正向的夹角分别为29⑷分离点计算：由，解出，。因为分离点位于实轴上中，故取。(5)与虚轴交点计算：方法1系统闭环特征方程为令，代入特征方程，则解得30方法2用劳斯稳定判据求根轨迹与虚轴的交点。列劳斯表为156031当时，行元素全为零，由行的辅助方程求得解得为根轨迹与虚轴的交点。根轨迹如图:32337.根轨迹的起始角和终止角