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1、放缩法练习一、裂项放缩1.(1)求的值;(2)求证:.2.(1)求证:(2)求证:(3)求证:(4)求证：3.设函数.数列满足..设，整数.证明:.二、函数放缩1.求证：.2.求证:3.求证:（构造法；积分放缩法）4.求证:和.5.求证:函数构造形式:(加强命题)6.证明:（）7.已知证明.（）8.已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.(I)求证：函数上是增函数；(II)当；(III)已知不等式时恒成立，9.已知函数若三、分式放缩姐妹不等式:和记忆口诀”小者小,大者大”看b,若b小,则不等号是小于号1.姐妹不等式:和也可以表示成为和解析:利用假分数的一个性质可得即2.证明
2、:解析:运用两次次分式放缩:相乘,可以得到:所以有四、分类放缩1.求证:解析:2.在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.(1)证明>>4，;(2)证明有，使得对都有<.3.已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。4.设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:.五、迭代放缩1.已知,求证:当时,2.设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:
3、Sn+k－Sn
4、<六、借助数列递推关系1.求
5、证:2.求证:3.若,求证:七、分类讨论1.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，有八、线性规划型放缩1.设函数.若对一切，，求的最大值。九、均值不等式放缩1.设求证2.已知为正数，且，试证：对每一个，.3.求证4.已知,求证:5.已知,求证:6.若,求证:.7.已知,求证:.8.已知函数f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数,n∈N*时,求证:[f’(x)]n－2n－1·f’(xn)≥2n(2n－2).9.已知函数（1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；（2）令求证：10.已知函数,.对任意正数,证明：．11.求证:十、二项放缩,,，1.已知
6、证明2.设，求证：数列单调递增且注：①上述不等式可加强为简证如下：利用二项展开式进行部分放缩：只取前两项有对通项作如下放缩：故有②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题）简析对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。3.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：4.设，求证.5.求证:.6.已知函数，满
7、足：①对任意，都有；②对任意都有.（I）试证明：为上的单调增函数；（II）求；（III）令，试证明：.7.已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且满足下列条件：①对于任意[0,1]，总有，且；②若则有（Ⅰ）求f(0)的值（Ⅱ）求证：f(x)≤4（Ⅲ）当时，试证明：.8.已知：求证：十一、积分放缩利用定积分的保号性比大小，保号性是指，定义在上的可积函数，则.1.求证：.2.求证：，.3.已知.求证：.4.设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；（Ⅱ
8、）当时，证明；（Ⅲ）当时，证明.积累:将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：①；②；③；④.十二、部分放缩(尾式放缩)1.求证:2.设求证：3.设数列满足，当时证明对所有有；十三、三角不等式的放缩1.求证:.十四、使用加强命题法证明不等式(i)同侧加强对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.1.求证:对一切,都有.(ii)异侧加强(数学归纳法)(iii)双向加强有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:欲证明,
9、只要证明:.1.已知数列满足:,求证:2.已知数列满足:,求证:.3.已知数列,,,.记,.求证:当时.(1);(2);★(3).4.已知数列的首项,,．(1)证明:对任意的,,;(2)证明:.十四、经典题目方法探究探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:.证明:首先:可以得到.先证明(方法一)所以(方法二),相乘得,.(方法三)设A=,B=,因为A
