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1、2.4有限群不可约表示的特征标表一、特征标是研究群表示的重要且有效的工具即表示矩阵D(R)对角线上元素和为元素R的特征标。1.定义设D(G)是群G的一个表示，表示D(G)的特征标记为χ(G)其中群元素R的表示矩阵D(R)对应的特征标χ(R)为3.有限群的特征标♣设有限群G：阶为g有n个不等价不可约表示Di(G),i=1,2,...,nDi(G)的维数为mi，特征标为χi(G)●上面特征标的性质并不要求群G是有限群，是所有群特征标的普遍性质，下面给出有限群特征标的性质（上节涉及的定理和推论）2.性质♣等价表示的特征标相等♣同一表
2、示中，共轭元素特征标相等♣特征标是类的函数，即同类元素特征标相等♣恒元的特征标等于表示的维数若恒元的表示D(E)的维数为m，则χ(E)=TrD(E)m×m=m1)正交关系对群元素求和，特征标作为群空间矢量对类求和，特征标作为类空间矢量（加上归一化系数）2)完备性特征标构成类空间完备基，任何类函数都可按其展开3)特征标内积可约表示约化为几个不可约表示的过程中，有的不可约表示不止出现一次（重数）不可约表示：D(R)=Dj(R),χ(R)=χj(R)特征标内积为表示不可约的充要条件注意则表示不可约的充要条件为有些文献上定义特征标内积
3、为4)有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数维数的平方和等于群的阶数二、特征标表1.定义把有限群G的所有不等价不可约表示的特征标，作为类的函数列出一个表，称为群G的特征标表。建立特征标表的原因●在给定的线性空间，群表示的矩阵形式不唯一依赖于基的选择，甚至依赖于基的排序但众多的表示是定义在同一线性空间，可以通过相似变换联系，即都是等价的●虽然群的表示矩阵不唯一，但是矩阵的迹（特征标）在相似变换下不变（等价的表示特征标对应相等）因此，表示的特征标成为表示的特征，与基的选择无关●群论的主要任务就是对于各种典型的群，特别是物理中常见
4、的对称变换群，寻找它们所有不等价不可约表示，研究可约表示的约化方法●对有限群，我们可以先找到群的所有不等价不可约表示的特征标，列成特征标表，再找不可约表示的表示矩阵，可使问题简化●有限群不等价不可约表示的特征标都满足前面列出的性质，那些性质是写特征标表的依据，也是检验表是否正确的依据1）复共轭表示将一表示的所有表示矩阵都取其复共轭D(R)*，它们的集合也构成原群的表示，称为原表示的复共轭表示互为复共轭的表示，它们的特征标互为复共轭2）自共轭表示若互为复共轭的两个表示等价D(R)*=X-1D(R)X，则称为自共轭表示自共轭表示的
5、特征标必为实数3）群G的两个不可约表示的直乘仍是G的一个表示特别是：其中一个是一维表示，直乘仍是不可约表示上面的方法有助于根据已知不可约表示寻找新的不可约表示2.特征标表的构成表头：行：群包含的几个类设有gc个类，第α类记为前面写上类元素的个数n(α)列：群的几个不等价不可约表示有限群不等价不可约表示个数=gc表中：每一行是一个不可约表示Di对应不同类的特征标χiα（α=1,...,gc）每一列是群每类元素在不同表示Di中的特征标χiα（i=1,...,gc）特征标表是一个正方形表：gc×gc12αgc由于特征标的正交关系，因
6、此特征标表的任两行（列）满足下列正交关系：正交关系既是写特征标表的依据，也是检验结果的依据写一个群的特征标表，通常表内第一行：给出恒等表示D1的特征标χ1α=1，即表的第一行为1第一列：给出恒元E表示的特征标χi(E)=mi，即表的第一列为表示的维数3.N阶循环群的特征标表1）N阶循环群的标准形式：CN={R,R2,...,RN=E}阿贝尔群，各元素间乘积可对易2）阿贝尔群每个元素自成一类，因此，N阶循环群有N个类3）有限群不等价不可约表示的维数平方和=群的阶m12+m22+...+mN2=N，则m1=m2=...=mN=1即
7、每个表示都为一维表示4）表示矩阵必须满足群元素的乘积关系R↔D(R);S↔D(S)→RS↔D(R)D(S)设D是CN的一个不可约表示，则mi=1，都是一维表示RN=E共有N个值，L=0对应D1(E)=1恒等表示N阶循环群有N个D(R)值，每一个值对应一个不等价不可约表示，为方便，可写成有的文献取+对应转动角度2π/N以4阶循环群为例C4={R,R2,R3,R4=E}将其对应到转动操作，相当于每个操作相继转过2π/N={C(π/2),C(π),C(3π/2),C(2π)}C4群的特征标表：第一行：给出恒等表示的特征标第一列：给出
8、恒元在各表示中的特征标（表示维数）表中各值：D22=exp(-(2-1)πi/2)=cos(π/2)-isin(π/2)=-iD23=exp(-(2-1)πi)=cos(π)-isin(π)=-1E=C(2π)1C(π/2)1C(π)1C(3π/2)D1D2D3D411111
