3-2 特征标表.ppt

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1、群表示理论目录3群表示理论（2）3.4广义正交定理3.5特征标表3.6直积群的表示3.7某些群的不可约表示（特征标表）3.4广义正交定理对于群G的每个操作R，Gm和Gn是具有矩阵Dm(R)和Dn(R)（维数分别为nm和nn）的二个不等价不可约酉表示，那么，它们的矩阵元之间满足下列方程。（12-4-1）其中，g为群的阶，加和遍及所有的操作R。（12-4-2）广义正交定理包括以下三种情况：1）如果和代表在表示Gm和Gn中（关于操作R的）表示矩阵的二个第i行和第k列的矩阵元，则求和遍及所有的操作R。这表明：不同表示中，即使是相同行列位置的矩阵元亦是正交的；或者说，选自不同表示矩阵的

2、向量是相互正交的。（12-4-3）2）如果和是同一表示的不同位置的矩阵元，则求和遍及所有的操作R。这表明：同一表示中，行列位置不同的矩阵元是正交的；或者说，选自同一表示矩阵的不同向量是相互正交的。（12-4-4）3）对于同一表示的相同行列位置的矩阵元，则求和遍及所有的操作R。这表明：任何一个由矩阵元组成的向量的长度的平方等于方程右边的值。广义正交定理是群表示理论的核心。它描述了点群的不等价不可约酉表示之间的正交性，以及同一表示矩阵中行与列的正交性。释例d轨道函数空间下C3v的不等价不可约表示特征标对于一个不可约表示Gm，其特征标记为一个表示矩阵的迹，在群表示理论中，称作该群元

3、素（对称操作）的特征标。用符号c标记。逆命题：如果二个表示的特征标相等，则二个表示必定等价。矩阵的迹对于相似变换不变，因此，等价表示的各个对应矩阵有相同的特征标。即，特征标不随基函数的选择而变化。对一个群的所有元素，一个给定表示的特征标的完全集合，称为该表示的特征标。一个群中的同一共轭类元素由相似变换相关联，显然，其特征标相同。由于特征标不随基函数的选择而变化，因此，可以用各共轭元素类的特征标组来标志群的表示。1）群的全部不等价不可约表示的维数的平方和等于群的阶，即上式也可以简化为（12-4-5）广义正交定理的几个推论2）不可约表示的特征标的平方和等于群的阶。d轨道函数空间下

4、C3v的不等价不可约表示（12-4-6）3）由二个不同的不可约表示的特征标作为分量的向量正交。d轨道函数空间下C3v的不等价不可约表示（12-4-7）现在我们把一个g阶的群G的操作分类，用符号Ci表示。将第i类操作的数目用gi表示，把群中类的数目用k表示，因此例如，对于C3v群，我们有由于同一类操作的特征标恒等，我们可以把方程（12-4-6）与（12-4-7）合并改写为（12-4-8）式中求和只要遍及不同的类，cm(Ci)是不可约表示Gm的第i类任意操作的特征标。上式加和号下的数字可解释为k维向量的分量，并且与其它不可约表示的相似向量正交。由于正交k维向量的最大数目是k，因此

5、，不等价不可约表示的最大数目也必须是k。4）群的不等价不可约表示的数目等于群中类的数目。5）约化公式：不可约表示Gm在一个可约表示中出现的次数am等于现在，我们举例说明以上规则的应用。例1：C2v群由四个元素组成，每个元素自成一类。因此这个群有四个不可约表示（规则4）。规则1还要求这些不可约表示的维数的平方和也等于4（群的阶），因此，C2v群有四个一维的不可约表示。例2：C3v群由六个元素组成，分成三类：E，2C3，3sv。因此这个群有三个不可约表示（规则4）。规则1还要求这些不可约表示的维数的平方和也等于6（群的阶），因此，C3v群有一个二维和二个一维的不可约表示。利用上述

6、规则，我们实际上还能求出这些不可约表示的特征标，这部分内容稍后再讨论。例3：对于C3v群，下面给出不可约表示G1，G2和G3的特征标和二个可约表示Ga和Gb的特征标：利用规则5，我们可以求出不可约表示Gm在可约表示中出现的次数am。3.5特征标表群论和分子对称性的全部应用，都要不断用到点群的不可约表示的特征标。所以将它们组合在一起，称为特征标表。如：C3v点群的特征标表C2v群的特征标表不可约表示的标记在点群的特征标表中，最上面一行是目录，在左上角是群的熊夫里记号。往后，是按类列出的群元素，并在其前加上该类操作的数目。每列之首是每一类的代表元素。往下，每一行是一个特定的不可约

7、表示。在特征标表中，不可约表示采用Mulliken提出的符号标记。一维表示（或称非简并表示）标记为A（a）或B（b）。如果与原子轨道联系的话（即以原子轨道作为表示的基），一维表示就意味着只有一个轨道，且不可约表示与该轨道的对称性相同。二维表示（或称二重简并表示）标记为E（e）。如果与原子轨道联系的话（即以原子轨道作为基），二维表示就意味着只有二个能量相同的轨道，且不可约表示与轨道的对称性相同。三维表示（或称三重简并表示）标记为T（t）。如果与原子轨道联系的话（即以原子轨道作为基），三维表示就意味着只有三