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1、特征标理论演讲者：刘物理学日期：2013-11-6content1、相关概念热身2、特征标基本性质3、特征标正交性与完备性4、特征标表的构造等价表示和非等价表示当我们寻找一个群的全部表示是，只须考虑那些互不等价的表示。可约表示和不可约表示可约表示：设A是群G在表示空间V上的一个表示。如果V存在一个G不变的真子空间W(即W既不是空集或V本身）则称表示A是可约表示。亦即对任意y∈W,任意g∈G,有A(g)y∈W。A(g)不把W中的向量变到W以外去。不可约表示：G的表示A在V中不存在G不变真子空间。可约表示可以用同一个相似变换将群元的表示矩阵D(A)、D(B)、Λ同时变成具
2、有相同块结构的块状对角矩阵；换言之，可进一步对角化的表示为可约表示。正交性定理设D(i)(R)和D(j)(R)是群G的两个ni，nj维的不等价不可约表示（R代表群G中的任一元）,则有其中，g是群G的阶，求和对一切群元进行。ni是不可约表示D(i)(R)的维数。用内积表示即:（D(j)p(R)
3、D(i)ßq(R))=ijij/ni注：为什么叫正交性定理？(1)ij:两个不等价不可约(幺正)表示的基函数彼此正交;(2):同一不可约(幺正)表示的基函数彼此正交ij正交┌1i┐┌1j┐∣2i∣∣2j∣正交∣∣∣∣正交∣∣∣
4、∣└nii┘└njj┘完备性定理设是有限群的所有不等价不可约酉（幺正）表示，则生成的群函数在群函数中间是完备的。函数集｛｝是的完备基。是群函数空间的正交归一基。群G的任意复函数可展为：推论：1、勃恩赛德（Burside)定理有限群的所有不等价不可约酉表示维数的平方和，等于群的阶。即2、正则表示L(gi)按不等价不可约酉表示可约化为正则表示含不等价不可约酉表示的次数，等于该表示的维数。1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标为D(R)的对角元之和（迹）X(R)=TrD(R)=式中，R表示G
5、的任一元Daa是对角元，n是表示空间的维数。群表示的特征标特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标注：对可约表示和不可约表示同样适用，第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)2.特征标的性质(1)单位矩阵的特征标等于它的阶，若表示是一维的，则特征标就是表示自身(2)等价表示有相同的特征标(由于相似变换并不改变矩阵的迹)(3)属于同一共轭类的群元在同一表示中有相同的特征标，因此特征标是类的函数，独立的特征标个数等于类的个数证明：Ri与Rj共轭，则有R-1RiR=Rj所以D(R-1)D(Ri)D(R)=D(Rj)D-1(R)D(Ri)D(R)=D(Rj)得：X(Ri
6、)=X(Rj)（相似矩阵有相同的迹）(4)一个可约表示的特征标，等于约化后各不可约表示的特征标之和(5)不可约表示特征标的正交性定理定理：一个群G的两个不等价不可约表示D(i)和D(j)的特征标X(i)和X(j)满足关系式其中，g是群阶，R是群G中的任一元，X(i),X(j)代表第i和第j个不可约表示的特征标。证明：注：若将一个群的所有不等价不可约表示的特征标列成表，并以群元类作为行编号而以不等价不可约表示作为列编号的话，则不同行的特征标是正交的亦即(i,j)=ij此正交关系也称为特征标的第一正交关系推论：1、群G的所有不等价不可约表示的个数r≤C（G中共轭类的个数）
7、例：验证正交性A1～A2:1×1×1+2×1×1+3×1×(-1)=0A2～E:1×1×2+2×1×(-1)+3×(-1)×0=0E～E：1×2×2+2×（-1）×(-1)+3×0×0=62、有限群不可约表示的特征标内积等于1即：3、可约表示A的特征标的内积大于1mp为不可约表示Ap在可约表示A的等价幺正表示A’中的重复度。可约表示的约化:只要知道群的所有不可约表示的特征标(即不可约表示特征标表),就可对该群任一表示的可约性作出判断。1.如该表示的特征标和某一不可约表示的特征表完全相同,则与这一不可约表示等价,亦为不可约表示。2.如该表示的特征标和任一不可约表示的特征标都不
8、相同,则该表示可约。其特征标可由不可约表示的特征标线性组合，即将上式两边同时乘以，对G所有的元求和得又可约性的判定：上式可以化为当不可约当可约（6）不可约表示特征标的完全性定理有限群的所有不等价不可约表示的特征标，在类函数空间是完备的。设f(gi)为群内任意类函数，则f(gi)可展开为当群G共有K1,K2,、、、Kq个类时，G共有q个独立的类函数f1,f2,、、、fq,fi(Kj)=ijfi是类函数空间的完备基。推论：1、有限群的不等价不可约表示的个数，等于群的类的个数。由勃恩赛德（Burside)定理可得：其中
