ch3-4.5函数单调性与曲线凹凸性,极值与最值.ppt

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1、第四、五节导数的应用思考题、函数的极值函数的单调性小结曲线的凹凸性与拐点函数的最大值和最小值内容回顾洛必达法则内容回顾一、函数的单调性定理1）1.函数单调性的判别法定理说明：(2)定理中的区间换成其它有限或无限区间,结论仍成立.(1)单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.(3)函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．(4)区间内个别点处的导数值为零,不影响区间的单调性.例如：(5)函数单调性的应用：可以证明不等式和确定某些方程实根的个数.2.函数单调区间的求法定义:若函数在其定义域的某个区间内是单

2、调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:二、曲线的凹凸性与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?凸凹1.曲线的凹凸性定义:定理2(曲线凹凸性的判定)例1解：注意到2.曲线的拐点定义:拐点的求法:方法:例2解：凹的凸的凹的拐点拐点解：例3注:三、函数的极值1.函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.注:(1)极值是一个局部性概念:极值是局部的最值.(2)在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的；但曲线上具有水平切线的地方，函数不一定取得极值.极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.2.函数极值的

3、求法定理1(必要条件)定义注:例如,可能极值点：驻点和不可导点定理2(第一充分条件)(是极值点情形)(不是极值点情形)(临界点)注：求极值的步骤:函数的极值必在临界点处取得!解：例1列表讨论极大值极小值解：例2注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.定理3(第二充分条件)注：第二充分条件只适合于在x0处一阶导数为零而二阶导数不为零的情形.证解：例3极大值、极小值、无极值.四、函数的最大值和最小值（一）问题的提出问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”；“用料最省”；“成本最低”；“效率最高”等在数学上归结为求目标函数的最大值或最小值问题。问1:目标函数在区间上是否有最值？问

4、2:如果函数的最值存在，在何处取得？（二）最值的求法1.目标函数在闭区间上连续注：最值点不一定是内点.步骤:(1)求驻点和不可导点;(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小来判断;解：例4比较得计算2.目标函数在开区间内连续要建造一个体积V为50m3的有盖圆柱形水池，问水池的高和底的半径比例为多少时，用料最省？例5解:设水池底半径为r，高为h，则表面积(1)建立圆柱形水池表面积函数关系式:则圆柱形水池表面积函数由已知：得唯一驻点:从而必在唯一驻点处取得.实际问题求最值一般步骤:(1)建立目标函数——实际问题中变量间的关系;(2)求最值——将实际问题转化为求目标函数在

5、相应区间上的最值问题;根据已知条件，将目标函数表示成关于一个变量的函数.小结一、单调性的判别是函数导数的重要应用.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.若函数在讨论区间上不总是单调增或单调减的,则须找函数单调性的分界点.二、凹凸性(曲线的弯曲方向)及拐点的判定应用：利用函数的凹凸性可以证明不等式.三、极值是函数的局部性概念:函数的极值必在驻点和不可导点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)四、函数的最大值最小值最值是整体概念2、实际问题求最值的一般步骤；1、求[a,b]上函数的最值步骤；常转化为目标函数在(a,b)内函数的最值作业下节

6、：习题课P152T5(1，3),T7(1，3),T8(1，3)P162T1(1，2),T8,T9思考题思考题1解答1.利用曲线的凹凸性定义证明不等式思考题思考题2解答2、下命题正确吗？不正确.例如故命题不正确．例2.证明当x>0,y>0,且xy时,有不等式成立,其中n>1.证:五、函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减