函数的单调性、极值与最值

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1、函数的单调性极值与最值考试要求1、掌握函数的单调区间、函数在开区间上的极值、闭区间上的最值的导数法及一般步骤；2、会运用比较法确定函数的最值点。第二节导数与函数的单调性基础知识梳理1．函数的单调性函数f(x)在某个区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)为．若f′(x)＜0，则f(x)为，若f′(x)＝0，则f(x)为．2．如果一个函数在某一范围内导数的绝对值，那么函数在这个范围内变化，这时，函数的图象就越“”．增函数常数减函数越大越快陡峭基础知识梳理3．利用导数判断函数单调性的一般步骤：(1)求f′(x)；(2)在定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(3)根据(2)的

2、结果确定f(x)的单调区间．基础知识梳理若函数f(x)在区间[a，b]内单调递增，则f′(x)>0，这种说法是否正确？【思考·提示】不正确，函数f(x)在区间[a，b]内单调递增，则f′(x)≥0，此处f′(x)＝0，并不是指x在[a，b]内处处有f′(x)＝0，可能只在某些具体的点处f′(x)＝0.思考？三基能力强化1．(2010年高考江苏卷)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．三基能力强化2．已知对任意x∈R，恒有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时有f′(x)，g′(x)的正负情

3、况为________．三基能力强化3．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为增函数的充要条件是________．三基能力强化4．三次函数y＝f(x)＝ax3＋x在x∈(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．课堂互动讲练利用导数研究函数的单调性应注意以下两点：(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性．(2)一般地，可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)，

4、都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零．特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到．课堂互动讲练(2009年高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝x4－3x2＋6.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设点P在曲线y＝f(x)上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．课堂互动讲练1．(2011年高考重庆卷)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数f(x)的单调区间．课堂互动讲练(2009年高考安徽卷)1.已知函数f(

5、x)＝x－＋a(2－lnx)，a>0.讨论f(x)的单调性．课堂互动讲练2．(2011年高考模拟卷)已知函数f(x)＝1/2x2－ax＋(a－1)lnx，a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：若a<5，则对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，有课堂互动讲练(2009年高考浙江卷)3.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)·x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．课堂互动讲练(解题示范)(本题满分14分)4.已知x>0，证明：不等式1+

6、练习2、函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1（1）若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式；（2）在（1）的条件下，求y=f(x)在上最大值；（3）若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增，求b的取值范围第三节导数与函数的极值和最值基础知识梳理1．函数的极值(1)函数的极值的概念：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的，f(a)叫做函数y＝f(x)的．f′(x)＜0f′(x)＞0极小值点极小值基础知

7、识梳理函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的，f(b)叫做函数y＝f(x)的．极小值点、极大值点统称为，极大值和极小值统称为．f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极大值极值点极值基础知识梳理(2)求函数极值的步骤：①；②；③检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取，如果左负右正，那