2008年全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案.doc

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1、声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》2008年全国高中数学联赛贵州赛区初赛试卷一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。评分中只设5分和0分两档。）1．已知集合，则等于（）A.B.C.D.2．函数的最小正周期是（）A．B．C．D．3．函数的反函数是（）A.B.C.D.4．在等差数列中，=（）A．24B．22C．20D．－85．给定两个向量=（1，2），=（x，1），若，则x的值等于（）A．1B．2C．D．6．若，且，则（）A．既有最大值，也有最小

2、值B．有最大值，无最小值C．有最小值，无最大值D．既无最大值，也无最小值7．在直三棱柱中，的中点，上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．把函数的图象按向量平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式是（）A.B.C.D.5声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》9．顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（）A．B．C．D．10．已知双曲线的焦点，点M在双曲线上且⊥x轴，则到直线的距离为（　　）A.　B.　　C.D.　　11．对

3、于任意的x∈R，不等式2x2－a＋3>0恒成立．则实数a的取值范围是()A．a≤3B．a<3C．a≤2D．a<212.已知（R），且则a的值有（D）.A.2个B.3个C.4个D.无数个二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分评分中只设4分和0分两档。）13．的展开式中常数项为．（用数字作答）14．设z=x—y,式中变量x和y满足条件则z的最小值为．15．若、，其中，，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为.16．函数的定义域为D．若对于任意,存在唯一,使成立，则称的“奥运数”．给出下列五个函数：①；　　②；③；④；⑤．其中具有“奥运数”性质的有______________

4、__（把你认为符合要求的函数的序号都填上）．5声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》三、解答题（第17~21题，每小题12分，第22题14分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）20．求下列方程的实数解。21．椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，焦点到相应的准线的距离以及离心率均为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且＝λ．（1）求椭圆方程；（2）若＋λ＝4，求m的取值范围．22．对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中。（1）若数列

5、首项，且满足，求数列的通项公式；（2）对（1）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切正整数都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）令，设，若恒成立，求最小的正整数M的值。参考答案一、选择题1．B2．C3．D4．A5．C6．D7．D8．B9．B10．　A　11．B12.D二、填空题13．1514．115．9016．_②、④__三、解答题20．求下列方程的实数解。5声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》解：方程两边同除以，得当且仅当，，┅，时，上式取等号，即但时，不满足原方程。故是原方程唯

6、一的实数解。21．解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知－c＝＝，＝，∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y2＋＝1　（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，∴λ＋1＝4　　λ＝3　设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0（*）x1＋x2＝，x1x2＝　∵＝3∴－x1＝3x2∴消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　m2＝时，上式不成立；m2≠时，k

7、2＝，由（*）式得k2>2m2－2因λ＝3∴k≠0∴k2＝>0，∴－1