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1、2013-2014学年高中数学同步训练:第2章平面向量章末检测(苏教版必修4)一、填空题1.与向量a=(1,)的夹角为30°的单位向量是________________.2.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力f4,则f4=________.3.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则a+b+c的模等于________.4.若a与b满足
2、a
3、=
4、b
5、=1,〈a,b〉=60°,则a·a+a·b=________.5.若向量a=(1,1),b
6、=(1,-1),c=(-1,2),则c=________.6.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x=________.7.设点A(1,2)、B(3,5),将向量按向量a=(-1,-1)平移后得到为________.8.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=________.9.已知非零向量a,b,若
7、a
8、=
9、b
10、=1,且a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),则实数k的值为________.10.若a=(λ,2),b=(-3,5)
11、,且a与b的夹角是钝角,则λ的取值范围是________.11.在菱形ABCD中,若AC=2,则·=________.12.如图所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是________.①·②·③·④·13.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是________.14.如图所示,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则A·A=________.二、解答题15.已知a,b,c在同一平面内,且a=(1,2).(
12、1)若
13、c
14、=2,且c∥a,求c;(2)若
15、b
16、=,且(a+2b)⊥(2a-b),求a与b的夹角.16.已知
17、a
18、=2,
19、b
20、=3,a与b的夹角为60°,c=5a+3b,d=3a+kb,当实数k为何值时,(1)c∥d;(2)c⊥d.17.如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,E、F分别是腰AD、BC的中点,M、N是线段EF上的两个点,且EM=MN=NF,下底是上底的2倍,若=a,=b.(1)试用a,b表示;(2)证明:A、M、C三点共线.18.已知
21、a
22、=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求:(1)a与b的夹角;(2)a-b与a+
23、b的夹角的余弦值.19.已知向量、、满足条件++=0,
24、
25、=
26、
27、=
28、
29、=1.求证:△P1P2P3是正三角形.20.已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P.求证:(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.答案1.(0,1)或(,) 2.(1,2) 3.2 4. 5.a-b 6.4 7.(2,3)8.-1 9.610.11.-212.①13.-14.1815.解 (1)∵c∥a,∴设c=λa,则c=(λ,2λ).又
30、c
31、=2,∴λ=±2,∴c=(2,4)或(-2,-4).(2)∵⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2
32、a-b)=0.∵
33、a
34、=,
35、b
36、=,∴a·b=-.∴cosθ==-1,∴θ=180°.16.解 由题意得a·b=
37、a
38、
39、b
40、cos60°=2×3×=3.(1)当c∥d时,c=λd,则5a+3b=λ(3a+kb).∴3λ=5,且kλ=3,∴k=.(2)当c⊥d时,c·d=0,则(5a+3b)·(3a+kb)=0.∴15a2+3kb2+(9+5k)a·b=0,∴k=-.17.(1)解 =+=+=+×(+)=+(+)=+=a+b.(2)证明 =+=+=a+b∴=,∴A、M、C三点共线.18.解 (1)∵(a-b)·(a+b)=
41、a
42、2-
43、b
44、
45、2=1-
46、b
47、2=,∴
48、b
49、2=,∴
50、b
51、=,设a与b的夹角为θ,则cosθ===.∴θ=45°.(2)∵
52、a
53、=1,
54、b
55、=,∴
56、a-b
57、2=a2-2a·b+b2=1-2×+=.∴
58、a-b
59、=,又
60、a+b
61、2=a2+2a·b+b2=1+2×+=.∴
62、a+b
63、=,设a-b与a+b的夹角为α,则cosα===.即a-b与a+b的夹角的余弦值为.19.证明 ∵++=0,∴+=-,∴(+)2=(-)2,∴
64、
65、2+
66、
67、2+2·=
68、
69、2,∴·=-,cos∠P1OP2==-,∴∠P1OP2=120°.同理,∠P1OP3=∠P2OP3=120°,
70、即、、中任意两个向量的夹角为120°,故△P1P2P3是正三角形.20.证明 如图建立直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=-=(