（新课程）高中数学3-2一般形式的柯西不等式课件新人教A版选修4-5.ppt

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1、【课标要求】1．理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式．2．会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值．【核心扫描】1．一般形式的柯西不等式的应用是本节考查的重点．2．常与不等式、最值等问题综合考查．(难点)第二节　一般形式的柯西不等式自学导引1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥.当且仅当时，等号成立．(a1b1＋a2b2＋a3b3)2b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3

2、试一试：在空间向量中，有

3、α

4、

5、β

6、≥

7、α·β

8、，据此推导三维的柯西不等式的代数形式．(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)bi＝0(i＝1,2,3，…，n)想一想：在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？提示不可以．不仅仅当ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立，当bi＝0(i＝1,2，…，n)时等号也成立．答案C答案C答案2规律方法有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项

9、式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的．规律方法利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题．通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形式．【变式2】已知x＋4y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值．规律方法柯西不等式的应用：柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，但我们在使用柯西不等式解决问题时，往往不能直接应用，需要先对式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的目的．在应用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的

10、条件，而且要善于构造，技巧如下：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③结构的改变从而达到使用柯西不等式；④添项．方法点评要求ax＋by＋z的最大值，利用柯西不等式(ax＋by＋z)2≤(a2＋b2＋12)(x2＋y2＋z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧．对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它．方法点评柯西不等式的一般结构为(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构

11、造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题.