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《高中数学 第三节 柯西不等式课件 新人教A版选修4-5.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节柯西不等式1.二维形式的柯西不等式内容等号成立的条件代数形式若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥________当且仅当______时，等号成立向量形式设是两个向量，则≤________当且仅当_________或_____________________时，等号成立(ac+bd)2ad=bc是零向量存在实数k,使=k内容等号成立的条件三角形式设x1,y1,x2,y2∈R,那么_________________当且仅当______________________________
2、____________________________时，等号成立P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线，且P1，P2在原点O两旁2.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥_______________.当且仅当__________或___________________________________时,等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3)2b1=b2=b3=0存在一个数k,使得a1=kb1
3、,a2=kb2,a3=kb33.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥__________________________,当且仅当___________________或____________________________________时,等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2bi=0(i=1,2,3,…,n)存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,
4、2,3,…,n)判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以是()(2)在三维形式的柯西不等式中等号成立的条件是()(3)设是两个向量，则中等号成立的条件是存在实数k，使()【解析】(1)错误.当b，d=0时，柯西不等式成立，但不成立.(2)错误.当b1,b2,b3都为零时,不成立，但此时柯西不等式成立.(3)错误.当=0时，答案：(1)×(2)×(3)×考向1二维柯西不等式代数形式的应用【典例1】设a,b∈R+且a+b=2.求证：【思
5、路点拨】观察不等式的结构特点，本题可以看作求的最小值，因而需出现柯西不等式的结构，把视为其中一个括号内的部分，另一部分可以是(2-a)+(2-b).【规范解答】根据柯西不等式，有［(2-a)+(2-b)］=(a+b)2=4,当且仅当即a=b=1时等号成立，∴原不等式成立.【拓展提升】正确理解二维柯西不等式(1)可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)
6、≥(ad+bc)2,谁与谁组合、联系，要有一定的认识.(2)“二维”是由向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横、纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.(3)根据题设条件，综合利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口.【变式训练】已知a1,a2,b1,b2为正实数，求证(a1b1+a2b2)≥(a1+a2)2.【证明】对比柯西不等式的原型，两组数可取为：则(a1b1+a2b2)=(a1+a2)2.当且仅当即b1=b2
7、时等号成立.考向2利用柯西不等式求最值【典例2】(2013·哈尔滨模拟)已知a,b,c∈(0,+∞),=2,求a+2b+3c的最小值.【思路点拨】分析待求式子的结构特征，结合已知条件构造两组数，利用柯西不等式求解.【规范解答】=(1+2+3)2=36.又∴a+2b+3c≥18.当且仅当a=b=c=3时等号成立.【互动探究】本例条件不变，试求4a+8b+27c的最小值.【解析】=(2+4+9)2=225,又∵∴4a+8b+27c≥当且仅当即2a=2b=3c=时取等号.即4a+8b+27c的最小值为【拓展
8、提升】三维柯西不等式的应用由a,b,c构成新的数字形式，而形成三维的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出，常用的技巧有以下几种：(1)构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数.(2)构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次序.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变式子的结构.(4)构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项.【变式备选】(2013·扬州模拟)设2x+3y+5z=29.求函数的最大值.【解析】≤［(2x
