随机事件与概率.doc

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1、第一章随机事件与概率一．随机试验和随机事件1必然现象：在一定条件下必然出现的现象（我们可以说他在这个条件下出现的概率100%）。2随机现象：在一定条件下可能出现，也可能不出现的现象（我们可以说他在这个条件下出现的概率不是100%）。3随机试验：通常用E表示，必须满足3个特点：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的结果不见得相同，但所有的结果都在明确的范围内；（3）每次试验之前不能确定哪个结果会出现。4样本空间：随机试验E的所有可能结果所组成的集合成为E的样本空间，常记作Ω。5样本点：Ω中的元素，即随机试验E的每个结果称为

2、样本点，常记作ω，于是ω∈Ω。注释：那么根据必然现象的定义，在样本空间范围内，因为Ω是所有可能性结果的集合，那么每个样本点即每次试验的结果都是必然的现象。然而对与代表其中的每一个结果的样本点ω，每次试验又是随机的现象，不可预知具体结果，样本空间里的每个ω都有可能发生。6随机事件：样品空间的子集，即试验满足某些条件的可能结果称为随机事件，常用大写字母ABA等表示。一个样本点ω组成的单点集称为基础事件，多于一个样本点ω组成的集合称作复合事件。在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称为这个事件发生。显然，Ω和空集φ都是Ω的子集，从

3、而也是事件，Ω称为必然性---每次试验中一定发生的事件，空集φ称为不可能事件--每次试验中一定不发生的事件。二．事件的关系及运算事件是一个集合，因此事件间的关系和运算自然按集合间的关系和运算来处理。1包含关系若事件A（别忘了是个集合，而不是我们常说的一件事）发生，必然导致事件B发生，即A为B的子集，则称事件B包含事件A。记作：A属于（符号打不出来）B。注：A和B一定不要忘了是事件，是集合，是样本空间Ω的子集。2相等若两个事件A,B满足：A属于B切B属于A，则称A与B相等。记作A=B.。此时A与B包含的样本点完全相同。注：A和B一定不要

4、忘了是事件，是集合，是样本空间Ω的子集。3和（并）事件A,B中至少有一个发生的事件，称为A与B的和，记作A∪B（或A+B）即A∪B={ω：ω∈A或ω∈B}注：A和B一定不要忘了是事件，是集合，是样本空间Ω的子集。4积（交）事件A与B同时发生的事件，称为A与B的积（交），记作A∩B（或AB）。即A∩B={ω：ω∈A且ω∈B}注：A和B一定不要忘了是事件，是集合，是样本空间Ω的子集。5差事件A发生，但B不发生的事件，称为A与B的差，记作A-B，即A-B={ω：ω∈A但ω不∈B}，就像套在一起的圆环，交叉部分就是A与B的差。注：A和B一定不

5、要忘了是事件，是集合，是样本空间Ω的子集。6互不相容（互斥）若事件A与B不能同时发生，即A∩B=φ，则称A与B互不相容（互斥），记作A∩B=φ或AB=φ。注：A和B一定不要忘了是事件，是集合，是样本空间Ω的子集。7对立（互逆）若A与B不能同时发生，且必有一个发生，则A，B满足A∩B=φ且A∪B=Ω，则称A与B互为对立事件（或互逆事件），记作A=B非（非的横档不会弄到B头上）或B=A非。即A的对立事件A非就是A不发生的事件。8完全（备）事件组若有限个或可列个事件AI，A2，A3，。。。An......满足AiAj=φ(即任意俩事件互斥）

6、，且这些事件的和=Ω，则这些事件构成一个完全事件组或完备事件组。三事件的概率及其性质概率是事件发生的可能性的定量描述，是事件的本质特征，它客观存在，我们常用P（A）表示事件A的概率。1概率的统计定义在相同条件下，独立重复进行n次试验，则事件A在n次试验中发生的频次，记作μA。比值fn(A）=μA/n称为事件A发生的频率，当试验次数n增大时，fn(A）呈现出某种稳定性，即它在某一常数p附近波动，切n越大，波动的幅度越小，则称p为事件A发生的概率，显然，P固然存在，但现实生活中无法明确地确定它，于是多用fn(A）的近似计算作为p的估值。2

7、概率的公理化定义（这是对概率的抽象解释，这个可以不用理解）若试验E的样本空间Ω，对E的任意一个事件A，规定一个实数P（A）与之对应，若P（A）满足下列条件，P(A）就称作事件A概率：（1）非负性：对于任意事件A，有P（A）大于等0；（2）规范性：P（Ω）=1（可以理解为根据必然现象的定义，在样本空间范围内，因为Ω是所有可能性结果的集合，那么每个样本点即每次试验的结果都是必然的现象，必然现象的概率肯定是100%）（3）可列可加性：对于任意互不相容的事件列：A1，A2，A3.....An...,有所有P（Ai)的和等于P（定义域范围包含所

8、有事件）的概率。举例：写出下列随机试验的样本空间（1）将一枚硬币抛两次，观察出现正面反面的情况注解：每次抛硬币有两种可能的结果即出现正面或反面，那么抛两次可能出现的结果：全反或一正一反或一反一正或两正，这四种可能性就是所