对称性与布拉维格子分类.ppt

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1、一.对称性的概念二.晶体中允许的对称操作三.晶体宏观对称性的表述：点群四.七个晶系和14种晶体点阵五.晶体的微观对称性：空间群六.点群对称性和晶体的物理性质除去晶体点阵外，晶体的结构还能够用什么样的语言方便地描述?1.2对称性和布拉维格子的分类对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作。有限大小的物体，只能有点对称操作。对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素：点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。对称性的概念：一个物体（或

2、图形）具有对称性，是指该物体（或图形）是由两个或两个以上的部分组成，经过一定的空间操作（线性变换），各部分调换位置之后整个物体（或图形）保持不变的性质。一些图形的对称操作：●●如何科学地概括和区别四种图形的对称性？从旋转来看，圆形对绕中心的任何旋转都是不变的；正方形只能旋转才保持不变；后2个图形只有的旋转。圆形的任一直径都是对称线；正方形只有4条连线是对称线；等腰梯形只有两底中心连线是对称线。以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：其中Aij为正交矩阵从解析几何知道，

3、符合正交变换的是：绕固定轴的转动(Rotationaboutanaxis)绕z轴旋转θ角数学上可以写作：反演：（Inversion)反映（Reflection)恒等操作（Z=0的平面）表示对称操作的符号有两种，这里用的是国际符号。如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作。一个物体可能的对称操作越多，它的对称性就越高。立方体具有较高的对称性，它有48个对称操作：绕4条体对角线可以旋转共8个对称操作；绕3个立方边可以旋转共9个对称操作；绕6条棱对角线可以转动π，共6个对称操作；加上恒等操作共24个。立方体

4、体心为中心反演，所以以上每一个操作加上中心反演后，仍为对称操作，因此立方体共有48个对称操作。通过仔细分析可知正四面体允许的对称操作只有24个；正六角拄的对称操作也只有24个，它们都没有立方体的对称性高。请思考它们的对称操作？数学上看，群代表一组元素的集合G=｛E,A,B,C,D,……｝这些元素被赋予一定的乘法法则，满足下列性质：若A,B∈G则AB＝C∈G,这是群的闭合性。存在单位元素E,使所有元素满足：AE=A任意元素A，存在逆元素：AA-1=E元素间满足结合律：A(BC)=(AB)C对称操作群：一个物体的全部对称操作的集合，构成对称

5、操作群。描述物体的对称性需要找出物体的全部对称操作，也就是找出它所具有的对称操作群。一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群的定义，运算法则是连续操作，不动操作是单位元素。注意：在说明一个物体的对称性时，为了简便，有时不去一一列举所有的对称操作，而是指出它的对称元素，若一个物体绕某一个转轴转以及它的倍数物体保持不变时，便称作n重旋转轴，记做n；若一个物体绕某一转轴转再作反演以及转动它的倍数再作反演物体保持不变时，该轴称作n重旋转－反演轴,记做。立方体的对称元素有：正四面体的对称元素只有：却没有显然，列举出一个物体的对称元素和说出它的对称

6、操作一样，都可以表明出物体的对称特点。二.晶体中允许的对称操作：人们早就指出，晶体的外形（宏观）对称性是其原子做周期性排列的结果。原子排列的周期性用晶体点阵表示，晶体本身对称操作后不变，其晶体点阵在对称操作后也应该保持不变，这就限制了晶体所可能有的点对称操作数目，可以证明：不论任何晶体，它的宏观对称元素最多只可能有10种（一说8种）对称元素：说明：是反映面m，而不是独立的。8种说法指：对称操作符号，除去以上使用的国际符号外，还通常使用熊夫利符号。旋转－反演轴的对称操作：1次反轴为对称中心；2次反轴为对称面；3次反轴为3次轴加对称中心旋转

7、－反演轴的对称操作：6次反轴为3次轴加对称面；4次反轴可以独立存在。见黄昆书30页晶体中只有2，3，4，6次旋转轴，没有5次轴和大于6次以上的轴，可以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面，而5边形和n(>6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存在5次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝锰合金中发现了晶体学中禁戒的20面体具有的5次对称性，这是对传统晶体观念的一次冲击。20面体的对称性黄昆书47页目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其构成原子的长程有序，而不是平移对称

8、性，具有5次对称性的准晶体（Quasicrystal）就是属于原子有严格的位置有序，而无平移对称性的晶体。它的图像可从二维Penrose拼图中得到理解。实际是一种准周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之间的一