固体物理第二章第二节对称性和布拉维格子的分类

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1、第二节对称性和布拉维格子的分类本节主要内容:一、群的知识简介二、点群和七个晶系三、空间群和14种布拉维格子四、点群对称性和晶体的物理性质§2.2对称性和布拉维格子的分类布拉维格子是按其对称性(symmetry)来分类的：所谓对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。对称性在物理学中是一个非常重要的概念，它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。因为对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的。对称性越高的系统，需要独立表征的系统要素就越少，因而描述起来就越简单。我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的对称性(symmetryoflattice).在晶格这个物理系统中，一

2、种对称性是指某些要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作----对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对称面----称为对称元素从数学角度来看，晶体的对称性是对晶体进行几何变换而能保持晶体性质的不变性,相当于一个正交线性变换。一个变换就是一种操作。参考方俊鑫固物p32-36;或方可固物p13-16正交矩阵比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：再比如：取中心为原点，

3、经中心反演，则有：还有：以z=0作为镜面，则有：由上可以看出，当变换是纯转动时，矩阵的行列式等于+1；当是空间反演或镜面反射时等于-1.前一种对应物体的实际运动，另一种不能靠物体的实际运动来实现。如果一个物体在某一正交变换下不变，就称这个变换为物体的一个对称操作。显然，一个物体的对称操作越多，就表明它的对称性越高。定量研究对称操作集合的性质要用群论的知识。谢希德、蒋平等人编著的《群论及其在物理学中的应用》(科学出版社出版，1986年8月)是一本不错的书，有兴趣的同学可以参阅）群论作为数学的分支，是处理有一定对称性的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算，也可以预言物理过

4、程的发展趋势，还可以对体系的许多性质作出定性的了解。群及其表示理论是物理系研究生的一门重要基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介绍一下，让大家对群的概念有一个认识。一、群的知识简介1.群的定义所谓群(group)就是一些元素(elements)或操作的集合，常用符号G来表示。构成群的元素要满足以下条件：设等表示群G中所包含的元素或操作即：必须满足下列条件：1).封闭性(closureproperty)按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素相乘，得到的还是该群的一个元素。2).群中一定包含一个不变元素(单位元素)E3).存在逆元素

5、4).满足组合定则在晶体的几何对称性的研究中，每一个能使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的元素的要求，由这些元素(或操作)所构成的群叫对称性群(symmetrygroup),包括点群(pointgroup)和空间群(spacegroup)1830年，赫塞耳(JohannFriedrichChristianHessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发，可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点都要动，而点群必须至少有一个格点不动)熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗

6、夫(Fedorove1892)为了研究复式晶格(几套简单格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作，提出了空间群的概念,并证明只有230种独立的空间群。可由此证明只有14种三维布拉维点阵此外，为了方便，人们制定了标示晶体类型的符号，一套是熊夫利制订的，称为熊夫利符号；一套是海尔曼(Hermann)和毛衮(Mauguin)制订的，称为国际符号我们这一节主要介绍这些人得到的结果二、点群和七个晶系1.点群保持空间某一点固定不动的对称操作，称为点对称操作。在点对称操作基础上构成的对称操作群称为点群2.点对称操作的类型和对称元素：对于晶体而言，对称操作就是对晶体进行几何变换而能复原的

7、操作。晶体中的基本的点对称操作有三种：相应的对称元素有:对称轴;对称面;对称中心镜面反映(Reflectionacrossaplane);中心反演(inversionthroughapoint);正当转动操作,即绕固定轴的转动(rotationaboutanaxis)；一个旋转对称操作(rotationalsymmetryoperation)意味着将点阵绕着某个轴旋转某个角度或-以后，点阵保持不变。由于晶体周期性的限制，转角只能是:显然n=1,相当于不动操作(元素)E,n=2,3,4,6的转轴分别称为二度、三度、四度、六度转轴证明见