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1、第三节晶体的对称性和分类本节主要内容:一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作二、晶体的微观对称性和微观对称操作三、群和晶体结构的分类物体的性质在不同方向或位置上有规律地重复出现的现象称为对称性对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的，它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。因为对称性越高的系统，需要独立表征的系统要素就越少，因而描述起来就越简单，且能大大简化某些计算工作量。我们这里要讨论的主要是晶体（晶格或点阵)的对称性(symmetryoflattice).一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作晶体的对称性可以从晶体外形的
2、规则性上反映出来,如sc、bcc、fcc结构的立方晶体,绕晶胞的任一基矢轴旋转π/2或π/2的整数倍的操作,都能使晶体的外形保持不变,这就是晶体的对称性.操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称操作.晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对称元素（简称对称素）.这种对称性不仅表现在晶体的几何外形上,而且反映在晶体的宏观物理性质中,称为晶体的宏观对称性.一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作1.概念解释晶体的宏观对称性就是晶体外形所包围的点阵结构的对称性.晶体的宏观对称性来源于点阵结构的对称性，相应的宏观对称操作是一种非
3、平移对称操作。晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描述,这样以来,晶体变为无限大的空间点阵.从而,晶体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量,晶格能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称为晶体的微观对称性.由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动,相应的对称操作又称为点对称操作.2.对称操作的变换矩阵从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对晶体进行一定的几何变换,它使得晶体中的某一点写成矩阵形式，则有其中：A为变换矩阵,由于点对称操作不改变两点间的距离,所以易证A是一个正交矩阵
4、.亦即满足两点间的距离不变,即用矩阵表示即得证.以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变,就称这个正交变换是晶体的一个点对称操作.（1）绕某一轴的旋转(rotationaboutanaxis)三维晶体的点对称操作通常总可以表示为绕某一轴的旋转、对某中心的反演和它们的组合.点对称操作对应的变换矩阵A的具体形式比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：且矩阵行列式均为：（2）中心反演(inversionthroughapoint)如果,晶体有对称中心,则中心反演也
5、是对称操作.对原点的反演使得(x,y,z)→(-x,-y,-z)，即：(3)镜面反映(Reflectionacrossaplane)一个镜面反映对称操作(symmetryoperationofmirrorimage)意味着将点阵对应于某一个面进行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜面反射对称性.如以xy面为镜面，则(x,y,z)→(x,y,-z)。用矩阵形式表示，则有当变换是纯转动时，矩阵的行列式等于+1；当是空间反演或镜面反射时等于-1.前一种对应物体的实际运动，另一种不能
6、靠物体的实际运动来实现。3.宏观对称操作和宏观对称元素绕固定轴的转动(rotationaboutanaxis)、中心反演(inversionthroughapoint)和镜面反映(Reflectionacrossaplane)是晶体中的三种基本的点对称操作。相应的对称元素有:对称轴、对称中心、对称面。一个晶体的对称操作愈多,就表明它的对称性愈高.但是,由于晶体的宏观对称性是受到微观周期性的制约和影响,所以,晶体的宏观对称元素不是任意的.对于旋转对称操作(rotationalsymmetryoperation)来说，由
7、于晶体周期性的限制，转角θ只能是2π/n，n=1、2、3、4和6。晶体只能具有有限个数的宏观对称操作或对称元素，对称元素的组合也是一定的，这称为晶体的宏观对称性破缺如果一个晶体绕某轴旋转2π/n及其倍数不变，称该轴为n次（或n度）旋转轴。晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴，称为晶体的对称性定律晶体的对称性定律的证明如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该操作将使B格点转到位置,则由于转动对称操作不改变格子,在处必定原来就有一个格点。因为B和A完全等价,所有旋转同样可以绕B进行.如图,A为格点,B
8、为离A最近的格点之一,则与平行的格点之间的距离一定是的整数倍。由此可设想绕B转角，这将使A格点转到的位置。同样处原来也必定有一个格点亦即：而且,m必须为整数,所以,m只能取-1,0,1,2,3由于组成等腰梯形,m为整数因此与m=-1,0,1,2,3相应的转角为:通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称轴，简称主轴(但是立方晶系则以3次轴
